<template>
|
<div class="chapter" num="5">
|
<!-- 第四单元首页 -->
|
<div class="page-box" page="120">
|
<div v-if="showPageList.indexOf(120) > -1">
|
<h1 id="a008">
|
<img class="img-0" alt="" src="../../assets/images/dy4.jpg" />
|
</h1>
|
<div class="padding-116">
|
<p>
|
知识改变命运，技能成就人生，全社会坚持尊重劳动、尊重知识、尊重人才、尊重创造.著名厨师厉恩海曾是一名军人，练就了一身拉面绝活，他能把1
|
kg
|
的面拉出200多万根细如发丝的面条，4次创造吉尼斯世界纪录，被誉为“中国拉面大王”.拉面从一块面块开始，手握两端，两臂均匀用力加速向外抻拉，然后两头对折后再拉，每对折1次，面条的数量在原有基础上翻一倍，如此继续，每次对折后面条的数量形成下列数字1，2，4，8，16，32，64，…为了更好地体现面条数量与对折次数的关系，也可以表示为2<sup>0</sup>，2<sup>1</sup>，2<sup>2</sup>，2<sup>3</sup>，2<sup>4</sup>，2<sup>5</sup>，2<sup>6</sup>，…若用函数语言刻画这类数量关系和变化规律，就是我们即将学习的指数函数.现实生活中，数据量的爆炸式增长、细胞分裂、碳14考古、储蓄利率（复利）、血液中的酒精含量等问题，都会用到指数函数相关知识.
|
</p>
|
<p>
|
指数函数与对数函数是两类基本初等函数，是提高数学运算能力、培养数形结合思想和数学建模能力的重要内容.它们在人口增长统计、文物考古鉴别、航海卫星定位等方面发挥着重要作用，在财经、金融、公共服务、信息技术等领域有广泛应用.
|
</p>
|
<p>
|
本单元我们将在整数幂的基础上推广幂的概念，学习实数幂的相关定义和运算性质、指数函数的图像与性质、对数定义及运算法则、对数函数的图像与性质、指数函数与对数函数的实际应用等内容，感悟数学与现实的关联，把握事物的本质，形成理性思考问题的品质和精神.
|
</p>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
<!-- 目标 -->
|
<div class="page-box" page="121">
|
<div v-if="showPageList.indexOf(121) > -1">
|
<div class="padding-116">
|
<p class="left">
|
<img class="inline2" alt="" src="../../assets/images/xxmb.jpg" />
|
</p>
|
<div class="fieldset">
|
<p>1.实数指数幂.</p>
|
<p>
|
能体会指数从正整数推广到有理数、实数的过程，了解实数指数幂的运算法则.
|
</p>
|
<p>2.指数函数和对数函数.</p>
|
<p>能借助几何直观和代数运算认识指数函数和对数函数；</p>
|
<p>
|
了解指数函数和对数函数的定义，理解它们的图像及性质，感悟数形结合的数学思想；
|
</p>
|
<p>会用对数的定义进行指数式与对数式的互化；</p>
|
<p>了解对数的性质和运算法则.</p>
|
<p>3.指数函数与对数函数的实际应用.</p>
|
<p>能从实际情境抽象出指数函数、对数函数模型解决简单问题.</p>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
<!-- 115 -->
|
<div class="page-box" page="122">
|
<div v-if="showPageList.indexOf(122) > -1">
|
<ul class="page-header-box">
|
<li>
|
<p>第四单元 指数函数与对数函数</p>
|
</li>
|
<li>
|
<p><span>115</span></p>
|
</li>
|
</ul>
|
<div class="padding-116">
|
<h2 id="b022">
|
4.1 实数指数幂<span class="fontsz1">＞＞＞＞＞＞＞＞</span>
|
</h2>
|
<h3 id="c034">
|
4.1.1 有理数指数幂<span class="fontsz2">＞＞＞</span>
|
</h3>
|
<div class="bk">
|
<div class="bj1">
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn1" alt="" src="../../assets/images/zshg.jpg" />
|
</p>
|
</div>
|
<p class="block">
|
如果<i>b</i><sup>2</sup>=<i>a</i>，那么<i>b</i>就叫作<i>a</i>
|
的平方根（或二次方根）.因为<i>b</i><sup>2</sup>≥0，故当<i>a</i>＜0时，在实数范围内<i>a</i>没有平方根；当<i>a</i>＞0时，<i>a</i>的平方根有两个，它们互为相反数，分别为<math
|
display="0">
|
<msqrt>
|
<mi>a</mi>
|
</msqrt>
|
</math>和<math display="0">
|
<mo>−</mo>
|
<msqrt>
|
<mi>a</mi>
|
</msqrt>
|
</math>；当<i>a</i>=0时，
|
<math display="0">
|
<msqrt>
|
<mn>0</mn>
|
</msqrt>
|
<mo>=</mo>
|
<mn>0</mn>
|
</math>.例如， ±3就是9的平方根.
|
</p>
|
<p class="block">
|
如果<i>b</i><sup>3</sup>=<i>a</i>，那么<i>b</i>就叫作<i>a</i>的立方根（或三次方根）.在实数范围内<i>a</i>只有一个立方根，记为<math
|
display="0">
|
<mroot>
|
<mi>a</mi>
|
<mn>3</mn>
|
</mroot>
|
</math>.例如，2就是8的立方根.
|
</p>
|
</div>
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn" alt="" src="../../assets/images/cxgk.jpg" />
|
</p>
|
<p>
|
一般地，如果<i>b<sup>n</sup></i>=<i>a</i>（<i>n</i>＞1，<i>n</i>∈<b>N</b>），那么<i>b</i>就叫作<i>a</i>的<i>n</i>次方根.
|
</p>
|
<p>
|
当<i>n</i>是奇数时，正数<i>a</i>的<i>n</i>次方根是一个正数，负数<i>a</i>的<i>n</i>次方根是一个负数.这时，<i>a</i>的<i>n</i>次方根用符号<math
|
display="0">
|
<mroot>
|
<mi>a</mi>
|
<mi>n</mi>
|
</mroot>
|
</math>表示.例如，
|
</p>
|
<math display="block">
|
<mroot>
|
<mn>128</mn>
|
<mn>7</mn>
|
</mroot>
|
<mo>=</mo>
|
<mn>2</mn>
|
<mo>，</mo>
|
<mroot>
|
<mrow>
|
<mo>−</mo>
|
<mn>128</mn>
|
</mrow>
|
<mn>7</mn>
|
</mroot>
|
<mo>=</mo>
|
<mo>−</mo>
|
<mn>2</mn>
|
<mo>，</mo>
|
<mroot>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mn>6</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mn>3</mn>
|
</mroot>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>.</mo>
|
</math>
|
<p>
|
当<i>n</i>是偶数时，正数<i>a</i>的<i>n</i>次方根有两个，两数互为相反数.这时，正数<i>a</i>的正的<i>n</i>次方根用符号<math display="0">
|
<mroot>
|
<mi>a</mi>
|
<mi>n</mi>
|
</mroot>
|
</math>表示，负的<i>n</i>次方根用符号<math display="0">
|
<mo>−</mo>
|
<mroot>
|
<mi>a</mi>
|
<mi>n</mi>
|
</mroot>
|
</math>表示.正的<i>n</i>次方根与负的<i>n</i>次方根可以合并写成<math display="0">
|
<mo>±</mo>
|
<mroot>
|
<mi>a</mi>
|
<mi>n</mi>
|
</mroot>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mi>a</mi>
|
<mo>＞</mo>
|
<mn>0</mn>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
</math>.例如，
|
</p>
|
<math display="block">
|
<mroot>
|
<mn>64</mn>
|
<mn>6</mn>
|
</mroot>
|
<mo>=</mo>
|
<mn>2</mn>
|
<mo>,</mo>
|
<mo>−</mo>
|
<mroot>
|
<mn>64</mn>
|
<mn>6</mn>
|
</mroot>
|
<mo>=</mo>
|
<mo>−</mo>
|
<mn>2</mn>
|
<mo>，</mo>
|
<mo>±</mo>
|
<mroot>
|
<mn>64</mn>
|
<mn>6</mn>
|
</mroot>
|
<mo>=</mo>
|
<mo>±</mo>
|
<mn>2.</mn>
|
</math>
|
<p>负数没有偶次方根.</p>
|
<p>
|
0的任何次方根都是0，记作
|
<math display="0">
|
<mroot>
|
<mn>0</mn>
|
<mi>n</mi>
|
</mroot>
|
<mo>=</mo>
|
<mn>0</mn>
|
</math>.
|
</p>
|
<p>
|
形如
|
<math display="0">
|
<mroot>
|
<mi>a</mi>
|
<mi>n</mi>
|
</mroot>
|
<mo stretchy="false">(</mo>
|
<mi>n</mi>
|
<mo>＞</mo>
|
<mn>1</mn>
|
</math>（<i>n</i>＞1，<i>n</i>∈<b>N</b><sub>+</sub>）的式子叫作<b>根式</b>，<i>n</i>叫作<b>根指数</b>，<i>a</i>叫作<b>被开方数</b>.
|
</p>
|
<p>根据<i>n</i>次方根的定义，根式具有下列性质.</p>
|
<p>
|
（1）
|
<math display="0">
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mroot>
|
<mi>a</mi>
|
<mi>n</mi>
|
</mroot>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mi>n</mi>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<mi>a</mi>
|
</math>.
|
</p>
|
<p>
|
（2） 当<i>n</i>为奇数时，<math display="0">
|
<mroot>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mi>n</mi>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mi>n</mi>
|
</mroot>
|
<mo>=</mo>
|
<mi>a</mi>
|
</math>；
|
</p>
|
<p>
|
当<i>n</i>为偶数时，<math display="0">
|
<mroot>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mi>n</mi>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mi>n</mi>
|
</mroot>
|
<mo>=</mo>
|
<mrow>
|
<mo stretchy="false">|</mo>
|
</mrow>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mo stretchy="false">|</mo>
|
</mrow>
|
<mo>=</mo>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">{</mo>
|
<mtable columnalign="left left" columnspacing="1em" rowspacing="4pt">
|
<mtr>
|
<mtd>
|
<mi>a</mi>
|
<mo>,</mo>
|
</mtd>
|
<mtd>
|
<mi>a</mi>
|
<mo>⩾</mo>
|
<mn>0</mn>
|
<mo>，</mo>
|
</mtd>
|
</mtr>
|
<mtr>
|
<mtd>
|
<mo>−</mo>
|
<mi>a</mi>
|
<mo>，</mo>
|
</mtd>
|
<mtd>
|
<mi>a</mi>
|
<mo>.</mo>
|
<mo><</mo>
|
<mn>0</mn>
|
</mtd>
|
</mtr>
|
</mtable>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE" fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo>
|
</mrow>
|
</math>.
|
</p>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
<!-- 116 -->
|
<div class="page-box" page="123">
|
<div v-if="showPageList.indexOf(123) > -1">
|
<ul class="page-header-odd fl al-end">
|
<li>116</li>
|
<li>数学.基础模块</li>
|
<li>上册</li>
|
</ul>
|
<div class="padding-116">
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>例1</b></span> 计算.
|
</p>
|
<p>
|
（1）
|
<math display="0">
|
<mroot>
|
<msup>
|
<mn>5</mn>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mn>3</mn>
|
</mroot>
|
</math>；（2）
|
<math display="0">
|
<mroot>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mo>−</mo>
|
<mn>5</mn>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mn>3</mn>
|
</mroot>
|
</math>；（3）
|
<math display="0">
|
<mroot>
|
<msup>
|
<mn>7</mn>
|
<mrow>
|
<mn>4</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mn>4</mn>
|
</mroot>
|
</math>；
|
</p>
|
<p>
|
（4）
|
<math display="0">
|
<mroot>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mo>−</mo>
|
<mn>7</mn>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mn>4</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mn>4</mn>
|
</mroot>
|
</math>；（5） 81的4次方根.
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>解</b></span>（1）<math display="0">
|
<mroot>
|
<msup>
|
<mn>5</mn>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mn>3</mn>
|
</mroot>
|
<mo>=</mo>
|
<mn>5</mn>
|
</math>；
|
</p>
|
<p>
|
（2）
|
<math display="0">
|
<mroot>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mo>−</mo>
|
<mn>5</mn>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mn>3</mn>
|
</mroot>
|
<mo>=</mo>
|
<mo>−</mo>
|
<mn>5</mn>
|
</math>；
|
</p>
|
<p>
|
（3）
|
<math display="0">
|
<mroot>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mn>7</mn>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mn>4</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mn>4</mn>
|
</mroot>
|
<mo>=</mo>
|
<mn>7</mn>
|
</math>；
|
</p>
|
<p>
|
（4）
|
<math display="0">
|
<mroot>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mo>−</mo>
|
<mn>7</mn>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mn>4</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mn>4</mn>
|
</mroot>
|
<mo>=</mo>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">|</mo>
|
<mo>−</mo>
|
<mn>7</mn>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">|</mo>
|
</mrow>
|
<mo>=</mo>
|
<mn>7</mn>
|
</math>；
|
</p>
|
<p>
|
（5） 因为（±3）<sup>4</sup>=81，所以81的4次方根是±3，即<math display="0">
|
<mo>±</mo>
|
<mroot>
|
<mn>81</mn>
|
<mn>4</mn>
|
</mroot>
|
<mo>=</mo>
|
<mo>±</mo>
|
<mn>3</mn>
|
</math>.
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>例2</b></span> 化简.
|
</p>
|
<p>
|
（1）
|
<math display="0">
|
<mroot>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mn>3</mn>
|
<mo>−</mo>
|
<mi>a</mi>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mn>3</mn>
|
</mroot>
|
</math>；（2）
|
<math display="0">
|
<mroot>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mn>3</mn>
|
<mo>−</mo>
|
<mrow>
|
<mi>π</mi>
|
</mrow>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mn>4</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mn>4</mn>
|
</mroot>
|
</math>.
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>解</b></span>（1）
|
<math display="0">
|
<mroot>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mn>3</mn>
|
<mo>−</mo>
|
<mi>a</mi>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mn>3</mn>
|
</mroot>
|
<mo>=</mo>
|
<mn>3</mn>
|
<mo>−</mo>
|
<mi>a</mi>
|
</math>；
|
</p>
|
<p>
|
（2）
|
<math display="0">
|
<mroot>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mn>3</mn>
|
<mo>−</mo>
|
<mrow>
|
<mi>π</mi>
|
</mrow>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mn>4</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mn>4</mn>
|
</mroot>
|
<mo>=</mo>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">|</mo>
|
<mn>3</mn>
|
<mo>−</mo>
|
<mrow>
|
<mi>π</mi>
|
</mrow>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">|</mo>
|
</mrow>
|
<mo>=</mo>
|
<mo>−</mo>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mn>3</mn>
|
<mo>−</mo>
|
<mrow>
|
<mi>π</mi>
|
</mrow>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mo>=</mo>
|
<mrow>
|
<mi>π</mi>
|
</mrow>
|
<mo>−</mo>
|
<mn>3</mn>
|
</math>.
|
</p>
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn" alt="" src="../../assets/images/cxgk.jpg" />
|
</p>
|
<p>
|
在初中，我们曾学习过整数幂的相关知识.<i>a<sup>n</sup></i>（<i>n</i>∈<b>N</b><sub>+</sub>）称为<i>a</i>的<i>n</i>次幂，<i>a</i>叫作底数，<i>n</i>叫作指数.
|
</p>
|
<p>
|
（1）
|
<math display="0">
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mi>n</mi>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<munder>
|
<mrow data-mjx-texclass="OP">
|
<munder>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
<mo>⋅</mo>
|
<mi>a</mi>
|
<mo>⋅</mo>
|
<mi>a</mi>
|
<mo>⋅</mo>
|
<mo>⋯</mo>
|
<mo>⋅</mo>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
<mo>⏟</mo>
|
</munder>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mi>n</mi>
|
<mo stretchy="false">↑</mo>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</munder>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mi>n</mi>
|
<mo>∈</mo>
|
<msub>
|
<mrow>
|
<mi mathvariant="bold">N</mi>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mo>+</mo>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
</math>；
|
</p>
|
<p>（2） <i>a</i><sup>0</sup>=1（<i>a</i>≠0）；</p>
|
<p>
|
（3）
|
<math display="0">
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mo>−</mo>
|
<mi>n</mi>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mi>n</mi>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</mfrac>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mi>a</mi>
|
<mo>≠</mo>
|
<mn>0</mn>
|
<mo>,</mo>
|
<mi>n</mi>
|
<mo>∈</mo>
|
<msub>
|
<mrow>
|
<mi mathvariant="bold">N</mi>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mo>+</mo>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
</math>.
|
</p>
|
<div class="bk">
|
<div class="bj1">
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn1" alt="" src="../../assets/images/gn.jpg" />
|
</p>
|
</div>
|
<p class="block">分数指数幂</p>
|
</div>
|
<p>试想，如果幂指数<i>n</i>是分数时，此时的指数幂应该如何表示呢？</p>
|
<p>
|
为此，我们现将整数指数幂的概念进行推广，利用刚学习过的根式来表示分数指数幂，规定<b>分数指数幂</b>的意义如下（为简化讨论，我们约定底数<i>a</i>＞0）.
|
</p>
|
<math display="block">
|
<mtable columnspacing="1em" rowspacing="4pt">
|
<mtr>
|
<mtd>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mi>m</mi>
|
<mi>n</mi>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<mroot>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mi>m</mi>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mi>n</mi>
|
</mroot>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mi>a</mi>
|
<mo>></mo>
|
<mn>0</mn>
|
<mo>,</mo>
|
<mi>m</mi>
|
<mo>,</mo>
|
<mi>n</mi>
|
<mo>∈</mo>
|
<msub>
|
<mrow>
|
<mi mathvariant="bold">N</mi>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mo>+</mo>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo>,</mo>
|
<mi>n</mi>
|
<mo>></mo>
|
<mn>1</mn>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mo>,</mo>
|
<mi>m</mi>
|
<mo>=</mo>
|
<mn>1</mn>
|
<mtext> 时, 有 </mtext>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mi>n</mi>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<mroot>
|
<mi>a</mi>
|
<mi>n</mi>
|
</mroot>
|
<mo>.</mo>
|
</mtd>
|
</mtr>
|
<mtr>
|
<mtd>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mo>−</mo>
|
<mfrac>
|
<mi>m</mi>
|
<mi>n</mi>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mi>m</mi>
|
<mi>n</mi>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</mfrac>
|
<mo>=</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mroot>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mi>m</mi>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mi>n</mi>
|
</mroot>
|
</mfrac>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mi>a</mi>
|
<mo>></mo>
|
<mn>0</mn>
|
<mo>,</mo>
|
<mi>m</mi>
|
<mo>,</mo>
|
<mi>n</mi>
|
<mo>∈</mo>
|
<msub>
|
<mrow>
|
<mi mathvariant="bold">N</mi>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mo>+</mo>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo>,</mo>
|
<mi>n</mi>
|
<mo>></mo>
|
<mn>1</mn>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mo>.</mo>
|
</mtd>
|
</mtr>
|
</mtable>
|
</math>
|
<p>
|
这样，幂指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数幂.只要每一个有理数指数幂有意义，整数指数幂的运算性质对有理数指数幂就同样适用.因此，我们初中
|
</p>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
<!-- 117 -->
|
<div class="page-box" page="124">
|
<div v-if="showPageList.indexOf(124) > -1">
|
<ul class="page-header-box">
|
<li>
|
<p>第四单元 指数函数与对数函数</p>
|
</li>
|
<li>
|
<p><span>117</span></p>
|
</li>
|
</ul>
|
<div class="padding-116">
|
<p class="t0">
|
学习过的整数指数幂的运算性质就可以推广到有理数指数幂.
|
</p>
|
<p>设<i>a</i>＞0，<i>b</i>＞0，<i>m</i>，<i>n</i>∈<b>Q</b>，则</p>
|
<p>
|
（1） <i>a<sup>m</sup> a<sup>n</sup></i>=<i>a<sup>m+n</sup></i>；
|
</p>
|
<p>
|
（2）（<i>a<sup>m</sup></i>）<i><sup>n</sup></i>=<i>a<sup>mn</sup></i>；
|
</p>
|
<p>
|
（3）（<i>ab</i>）<i><sup>n</sup></i>=<i>a<sup>n</sup> b<sup>n</sup></i>.
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>例3</b></span> 将下列根式用分数指数幂表示（式中字母均为正实数）.
|
</p>
|
<p>
|
（1）
|
<math display="0">
|
<mroot>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mn>4</mn>
|
</mroot>
|
</math>；（2）
|
<math display="0">
|
<mroot>
|
<msup>
|
<mi>x</mi>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mn>6</mn>
|
</mroot>
|
</math>；（3）
|
<math display="0">
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mroot>
|
<msup>
|
<mn>5</mn>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mn>4</mn>
|
</mroot>
|
</mfrac>
|
</math>.
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>解</b></span>（1）
|
<math display="0">
|
<mroot>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mn>4</mn>
|
</mroot>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>3</mn>
|
<mn>4</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</math>；
|
</p>
|
<p>
|
（2）
|
<math display="0">
|
<mroot>
|
<msup>
|
<mi>x</mi>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mn>6</mn>
|
</mroot>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mi>x</mi>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>2</mn>
|
<mn>6</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</math>；（注意：此处不能化简为<math display="0">
|
<msup>
|
<mi>x</mi>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</math>）
|
</p>
|
<p>
|
（3）
|
<math display="0">
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mroot>
|
<msup>
|
<mn>5</mn>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mn>4</mn>
|
</mroot>
|
</mfrac>
|
<mo>=</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<msup>
|
<mn>5</mn>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>3</mn>
|
<mn>4</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</mfrac>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mn>5</mn>
|
<mrow>
|
<mo>−</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>3</mn>
|
<mn>4</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</math>
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>例4</b></span> 化简（式中字母均为正实数）.
|
</p>
|
<p>
|
（1）<math display="0">
|
<msup>
|
<mn>27</mn>
|
<mrow>
|
<mo>−</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</math>；（2）
|
<math display="0">
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>2</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<msup>
|
<mi>b</mi>
|
<mrow>
|
<mo>−</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>3</mn>
|
<mn>4</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mn>8</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</math>.
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>解</b></span>（1）<math display="0">
|
<msup>
|
<mn>27</mn>
|
<mrow>
|
<mo>−</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<msup>
|
<mn>27</mn>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</mfrac>
|
<mo>=</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mroot>
|
<mn>27</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mroot>
|
</mfrac>
|
<mo>=</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
</math>；
|
</p>
|
<p>
|
（2）<math display="0">
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>2</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<msup>
|
<mi>b</mi>
|
<mrow>
|
<mo>−</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>3</mn>
|
<mn>4</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mn>8</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>2</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mn>8</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<msup>
|
<mi>b</mi>
|
<mrow>
|
<mo>−</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>3</mn>
|
<mn>4</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mn>8</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mn>4</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<msup>
|
<mi>b</mi>
|
<mrow>
|
<mo>−</mo>
|
<mn>6</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<mfrac>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mn>4</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<msup>
|
<mi>b</mi>
|
<mrow>
|
<mn>6</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</mfrac>
|
</math>.
|
</p>
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn" alt="" src="../../assets/images/stlx.jpg" />
|
</p>
|
<div class="bj">
|
<examinations :cardList="questionData[124]" :hideCollect="true" sourceType="json" v-if="questionData">
|
</examinations>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
<!-- 118 -->
|
<div class="page-box" page="125">
|
<div v-if="showPageList.indexOf(125) > -1">
|
<ul class="page-header-odd fl al-end">
|
<li>118</li>
|
<li>数学.基础模块</li>
|
<li>上册</li>
|
</ul>
|
<div class="padding-116">
|
<h3 id="c035">4.1.2 实数指数幂<span class="fontsz2">＞＞＞</span></h3>
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn" alt="" src="../../assets/images/wttc.jpg" />
|
</p>
|
<p>
|
小学我们学习了自然数，初中从自然数拓展到整数、有理数乃至实数.类似地，在学习有理数指数幂的基础上，我们可以将<i>a<sup>x</sup></i>中指数<i>x</i>的取值范围从有理数拓展到全体实数，此时，<i>a<sup>x</sup></i>的意义是什么呢？如<math
|
display="0">
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<msqrt>
|
<mn>3</mn>
|
</msqrt>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</math>，<math display="0">
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>4</mn>
|
</mfrac>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<msqrt>
|
<mn>2</mn>
|
</msqrt>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</math>，它们是一个确定的数吗？能否计算出结果呢？
|
</p>
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn" alt="" src="../../assets/images/fxlj.jpg" />
|
</p>
|
<p>
|
实数指数幂 事实上，我们可以通过科学计算器计算出<math display="0">
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<msqrt>
|
<mn>3</mn>
|
</msqrt>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</math>，<math display="0">
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>4</mn>
|
</mfrac>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<msqrt>
|
<mn>2</mn>
|
</msqrt>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</math>的值（请同学们自己利用科学计算器或下载计算机软件进行计算）.如果精确到0.01时，<math display="0">
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<msqrt>
|
<mn>3</mn>
|
</msqrt>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</math>的近似值为3.32，<math display="0">
|
<msup>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>4</mn>
|
</mfrac>
|
<mrow>
|
<msqrt>
|
<mn>2</mn>
|
</msqrt>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</math>的近似值为0.14，即表明这些无理数指数幂都是一个确定的实数.这样，我们将指数幂<i>a<sup>x</sup></i>（<i>a</i>＞0）中指数<i>x</i>的取值范围从整数逐步拓展到有理数、无理数，乃至实数.当<i>x</i>为任意实数时，<b>实数指数幂</b><i>a<sup>x</sup></i>（<i>a</i>＞0）表示一个确定实数.现实生活中，我们通过类比、联想、猜想等方式可创新设计出很多不同的事物和模式.
|
</p>
|
<p>
|
有理数指数幂的运算性质同样适用于实数指数幂的运算性质（证明略），即当<i>a</i>＞0，<i>b</i>＞0，<i>p</i>，<i>q</i>∈<b>R</b>时，有
|
</p>
|
<p>
|
（1） <i>a<sup>p</sup> a<sup>q</sup></i>=<i>a<sup>p+q</sup></i>；
|
</p>
|
<p>
|
（2）（<i>a<sup>p</sup></i>）<i><sup>q</sup></i>=<i>a<sup>pq</sup></i>；
|
</p>
|
<p>
|
（3）（<i>ab</i>）<i><sup>p</sup></i>=<i>a<sup>p</sup> b<sup>p</sup></i>.
|
</p>
|
<p>注意：运算性质成立的条件是每个实数指数幂都有意义.</p>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
<!-- 119 -->
|
<div class="page-box" page="126">
|
<div v-if="showPageList.indexOf(126) > -1">
|
<ul class="page-header-box">
|
<li>
|
<p>第四单元 指数函数与对数函数</p>
|
</li>
|
<li>
|
<p><span>119</span></p>
|
</li>
|
</ul>
|
<div class="padding-116">
|
<div class="bk">
|
<div class="bj1">
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn1" alt="" src="../../assets/images/tbts.jpg" />
|
</p>
|
</div>
|
<p class="block">
|
对例1（1）
|
题，我们需要将某些底数变形为指数幂的形式，以方便利用实数指数幂的运算法则进行计算或者化简.
|
</p>
|
</div>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>例1</b></span> 计算（式中字母均为正实数）.
|
</p>
|
<p>
|
（1）<math display="0">
|
<msup>
|
<mn>16</mn>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>4</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>−</mo>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<msup>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>27</mn>
|
</mfrac>
|
<mrow>
|
<mo>−</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mo>+</mo>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">（</mo>
|
<msqrt>
|
<mn>2</mn>
|
</msqrt>
|
<mo>−</mo>
|
<mn>1</mn>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">）</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mn>0</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</math>；（2）
|
<math display="0">
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mo>−</mo>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<msup>
|
<mi>b</mi>
|
<mrow>
|
<mn>5</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>5</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>⋅</mo>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>5</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>÷</mo>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<msup>
|
<mi>b</mi>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>5</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>3</mn>
|
<mn>5</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</math>.
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>解</b></span>
|
</p>
|
<p class="left1">
|
<math display="">
|
<mtable columnalign="left" columnspacing="1em" rowspacing="4pt">
|
<mtr>
|
<mtd>
|
<mtext>（1）</mtext>
|
<msup>
|
<mn>16</mn>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>4</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>−</mo>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>27</mn>
|
</mfrac>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mo>−</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>+</mo>
|
<mo stretchy="false">(</mo>
|
<msqrt>
|
<mn>2</mn>
|
</msqrt>
|
<mo>−</mo>
|
<mn>1</mn>
|
<msup>
|
<mo stretchy="false">)</mo>
|
<mrow>
|
<mn>0</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</mtd>
|
</mtr>
|
<mtr>
|
<mtd>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<mn>4</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>4</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>−</mo>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">[</mo>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">]</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mo>−</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>+</mo>
|
<mn>1</mn>
|
</mtd>
|
</mtr>
|
<mtr>
|
<mtd>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<mn>4</mn>
|
<mo>×</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>4</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>−</mo>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
<mo>×</mo>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mo>−</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>+</mo>
|
<mn>1</mn>
|
</mtd>
|
</mtr>
|
<mtr>
|
<mtd>
|
<mo>=</mo>
|
<mn>2</mn>
|
<mo>−</mo>
|
<mn>3</mn>
|
<mo>+</mo>
|
<mn>1</mn>
|
<mo>=</mo>
|
<mn>0</mn>
|
<mo>;</mo>
|
</mtd>
|
</mtr>
|
<mtr>
|
<mtd>
|
<mtext>（2）</mtext>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mo>−</mo>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<msup>
|
<mi>b</mi>
|
<mrow>
|
<mn>5</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>5</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>⋅</mo>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>5</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>÷</mo>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<msup>
|
<mi>b</mi>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>5</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>3</mn>
|
<mn>5</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</mtd>
|
</mtr>
|
<mtr>
|
<mtd>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mo>−</mo>
|
<mn>3</mn>
|
<mo>×</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>5</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<msup>
|
<mi>b</mi>
|
<mrow>
|
<mn>5</mn>
|
<mo>×</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>5</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
<mo>×</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>5</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>÷</mo>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
<mo>×</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>3</mn>
|
<mn>5</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<msup>
|
<mi>b</mi>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>5</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
<mo>×</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>3</mn>
|
<mn>5</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
</mtd>
|
</mtr>
|
<mtr>
|
<mtd>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mo>−</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>3</mn>
|
<mn>5</mn>
|
</mfrac>
|
<mo>+</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>2</mn>
|
<mn>5</mn>
|
</mfrac>
|
<mo>−</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>9</mn>
|
<mn>5</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<msup>
|
<mi>b</mi>
|
<mrow>
|
<mn>1</mn>
|
<mo>−</mo>
|
<mn>1</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</mtd>
|
</mtr>
|
<mtr>
|
<mtd>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mo>−</mo>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</mfrac>
|
<mo>.</mo>
|
</mtd>
|
</mtr>
|
</mtable>
|
</math>
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>例2</b></span> 化简（式中字母均为正实数）.
|
</p>
|
<p>
|
（1）
|
<math display="0">
|
<msqrt>
|
<mn>2</mn>
|
</msqrt>
|
<mo>×</mo>
|
<mroot>
|
<mn>8</mn>
|
<mn>4</mn>
|
</mroot>
|
<mo>×</mo>
|
<mroot>
|
<mn>64</mn>
|
<mn>8</mn>
|
</mroot>
|
</math>；（2）
|
<math display="0">
|
<msqrt>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<msup>
|
<mi>b</mi>
|
<mrow>
|
<mo>−</mo>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</msqrt>
|
<mo>·</mo>
|
<mroot>
|
<mrow>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mo>−</mo>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<msup>
|
<mi>b</mi>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</mrow>
|
<mn>3</mn>
|
</mroot>
|
<mo>·</mo>
|
<mroot>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
<msup>
|
<mi>b</mi>
|
<mrow>
|
<mn>5</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</mrow>
|
<mn>6</mn>
|
</mroot>
|
</math>.
|
</p>
|
<p class="block">
|
<span class="zt-ls2"><b>分析</b></span> 运算思路是将根式转化为分数指数幂，然后再化简运算.
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>解</b></span>
|
</p>
|
<math display="">
|
<mtable columnalign="left" columnspacing="1em" rowspacing="4pt">
|
<mtr>
|
<mtd>
|
<mo stretchy="false">（1）</mo>
|
<msqrt>
|
<mn>2</mn>
|
</msqrt>
|
<mo>×</mo>
|
<mroot>
|
<mn>8</mn>
|
<mn>4</mn>
|
</mroot>
|
<mo>×</mo>
|
<mroot>
|
<mn>64</mn>
|
<mn>8</mn>
|
</mroot>
|
</mtd>
|
</mtr>
|
<mtr>
|
<mtd>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>2</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>×</mo>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>4</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>×</mo>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<mn>6</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>8</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</mtd>
|
</mtr>
|
<mtr>
|
<mtd>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>2</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>×</mo>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>3</mn>
|
<mn>4</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>×</mo>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>6</mn>
|
<mn>8</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</mtd>
|
</mtr>
|
<mtr>
|
<mtd>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>2</mn>
|
</mfrac>
|
<mo>+</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>3</mn>
|
<mn>4</mn>
|
</mfrac>
|
<mo>+</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>6</mn>
|
<mn>8</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<mn>4</mn>
|
<mo>;</mo>
|
</mtd>
|
</mtr>
|
<mtr>
|
<mtd>
|
<mtext>（2）</mtext>
|
<msqrt>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<msup>
|
<mi>b</mi>
|
<mrow>
|
<mo>−</mo>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</msqrt>
|
<mo>⋅</mo>
|
<mroot>
|
<mrow>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mo>−</mo>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<msup>
|
<mi>b</mi>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</mrow>
|
<mn>3</mn>
|
</mroot>
|
<mo>⋅</mo>
|
<mroot>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
<msup>
|
<mi>b</mi>
|
<mrow>
|
<mn>5</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</mrow>
|
<mn>6</mn>
|
</mroot>
|
</mtd>
|
</mtr>
|
<mtr>
|
<mtd>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<msup>
|
<mi>b</mi>
|
<mrow>
|
<mo>−</mo>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>2</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>⋅</mo>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mo>−</mo>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<msup>
|
<mi>b</mi>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>⋅</mo>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mi>a</mi>
|
<msup>
|
<mi>b</mi>
|
<mrow>
|
<mn>5</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>6</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</mtd>
|
</mtr>
|
<mtr>
|
<mtd>
|
<mo>=</mo>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>3</mn>
|
<mn>2</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<msup>
|
<mi>b</mi>
|
<mrow>
|
<mo>−</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>3</mn>
|
<mn>2</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mo>⋅</mo>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mo>−</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>2</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<msup>
|
<mi>b</mi>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>2</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mo>⋅</mo>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>6</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<msup>
|
<mi>b</mi>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>5</mn>
|
<mn>6</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
</mtd>
|
</mtr>
|
<mtr>
|
<mtd>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>3</mn>
|
<mn>2</mn>
|
</mfrac>
|
<mo>−</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>2</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
<mo>+</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>6</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>⋅</mo>
|
<msup>
|
<mi>b</mi>
|
<mrow>
|
<mo>−</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>3</mn>
|
<mn>2</mn>
|
</mfrac>
|
<mo>+</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>2</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
<mo>+</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>5</mn>
|
<mn>6</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<mi>a</mi>
|
<mo>.</mo>
|
</mtd>
|
</mtr>
|
</mtable>
|
</math>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
<!-- 120 -->
|
<div class="page-box" page="127">
|
<div v-if="showPageList.indexOf(127) > -1">
|
<ul class="page-header-odd fl al-end">
|
<li>120</li>
|
<li>数学.基础模块</li>
|
<li>上册</li>
|
</ul>
|
<div class="padding-116">
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>例3</b></span> 计算
|
2<sup>0</sup>+2<sup>1</sup>+2<sup>2</sup>+2<sup>3</sup>+…+2<i><sup>x</sup></i>（<i>x</i>∈<b>N</b>）.
|
</p>
|
<p class="block">
|
<span
|
class="zt-ls2"><b>分析</b></span> 观察这个式子的特点，每一项都是前面一项的2倍（除第1项外）；运算思路可考虑将代数式每项乘2后再与原式相减.数学上把这种运算方法叫作“错位相减”.
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>解</b></span> 令
|
</p>
|
<math display="block">
|
<mi>S</mi>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<mn>0</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>+</mo>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<mn>1</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>+</mo>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>+</mo>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>+</mo>
|
<mo>…</mo>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<mi>x</mi>
|
<mo>−</mo>
|
<mn>1</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>+</mo>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<mi>x</mi>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>.</mo>
|
</math>
|
<p class="right">①</p>
|
<p>将①式两边同时乘2，得</p>
|
<math display="block">
|
<mn>2</mn>
|
<mi>S</mi>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<mn>1</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>+</mo>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>+</mo>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>+</mo>
|
<mo>…</mo>
|
<mo>+</mo>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<mi>x</mi>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>+</mo>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<mi>x</mi>
|
<mo>+</mo>
|
<mn>1</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>.</mo>
|
</math>
|
<p class="right">②</p>
|
<p>用②式减①式可得</p>
|
<p>
|
2<i>S</i>-<i>S</i>=（2<sup>1</sup>+2<sup>2</sup>+2<sup>3</sup>+…+2<i><sup>x</sup></i>+2<i><sup>x</sup></i><sup>+1</sup>）-（2<sup>0</sup>+2<sup>1</sup>+2<sup>2</sup>+2<sup>3</sup>+…+2<i><sup>x</sup></i><sup>-1</sup>+2<i><sup>x</sup></i>），
|
</p>
|
<p>
|
即<i>S</i>=2<i><sup>x+1</sup></i>-1，
|
</p>
|
<p>
|
所以， 2<sup>0</sup>+2<sup>1</sup>+2<sup>2</sup>+2<sup>3</sup>+…+2<i><sup>x</sup></i>=2<i><sup>x+1</sup></i>-1.
|
</p>
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn" alt="" src="../../assets/images/stlx.jpg" />
|
</p>
|
<div class="bj">
|
<examinations :cardList="questionData[127]" :hideCollect="true" sourceType="json" v-if="questionData">
|
</examinations>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
<!-- 121 -->
|
<div class="page-box" page="128">
|
<div v-if="showPageList.indexOf(128) > -1">
|
<ul class="page-header-box">
|
<li>
|
<p>第四单元 指数函数与对数函数</p>
|
</li>
|
<li>
|
<p><span>121</span></p>
|
</li>
|
</ul>
|
<div class="padding-116">
|
<h3 id="c036">习题4.1<span class="fontsz2">＞＞＞</span></h3>
|
<div class="bj">
|
<examinations :cardList="questionData[128]" :hideCollect="true" sourceType="json" v-if="questionData">
|
</examinations>
|
</div>
|
<h2 id="b023">
|
4.2 指数函数<span class="fontsz1">＞＞＞＞＞＞＞＞</span>
|
</h2>
|
<h3 id="c037">
|
4.2.1 指数函数的定义与图像<span class="fontsz2">＞＞＞</span>
|
</h3>
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn" alt="" src="../../assets/images/gcsk.jpg" />
|
</p>
|
<p>
|
情境1：《庄子·天下篇》中有一段脍炙人口的话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”这里的“一尺之棰”，即一尺（长度单位，1尺约合0.33
|
m）长的木棍，“日取其半”即每天取它的一半.若一直“日取其半”，则每天剩下的木棍长度就是下面的一列数字.
|
</p>
|
<math display="block">
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>2</mn>
|
</mfrac>
|
<mo>,</mo>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>2</mn>
|
</mfrac>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>,</mo>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>2</mn>
|
</mfrac>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>,</mo>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>2</mn>
|
</mfrac>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mn>4</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>,</mo>
|
<mo>⋯</mo>
|
</math>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
<!-- 122 -->
|
<div class="page-box" page="129">
|
<div v-if="showPageList.indexOf(129) > -1">
|
<ul class="page-header-odd fl al-end">
|
<li>122</li>
|
<li>数学.基础模块</li>
|
<li>上册</li>
|
</ul>
|
<div class="padding-116">
|
<p>
|
记取到第<i>x</i>天时剩下的长度为<i>y</i>，那么<i>y</i>与
|
<i>x</i>的函数关系是
|
</p>
|
<math display="block">
|
<mi>y</mi>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>2</mn>
|
</mfrac>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mi>x</mi>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>.</mo>
|
</math>
|
<p class="right">①</p>
|
<p>
|
其中指数<i>x</i>是自变量，定义域是<i>x</i>∈<b>N</b><sub>+</sub>.
|
</p>
|
<p>
|
情境2：细胞每分裂1次其数量变为原来的两倍，则每次分裂后的细胞数量见表4-1.
|
</p>
|
<p class="img">表4-1</p>
|
<p class="center">
|
<img class="img-a" alt="" src="../../assets/images/0133-2.jpg" />
|
</p>
|
<p>
|
如果设细胞分裂的次数为<i>x</i>，对应分裂后的细胞数量为<i>y</i>，那么<i>y</i>与<i>x</i>的函数关系是
|
</p>
|
<math display="block">
|
<mi>y</mi>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mn>2</mn>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mi>x</mi>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>.</mo>
|
</math>
|
<p class="right">②</p>
|
<p>
|
其中指数<i>x</i>是自变量，定义域是<i>x</i>∈<b>N</b><sub>+</sub>.
|
</p>
|
<div class="bk">
|
<div class="bj1">
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn1" alt="" src="../../assets/images/gn.jpg" />
|
</p>
|
</div>
|
<p class="block">指数函数</p>
|
</div>
|
<p>
|
如果用字母<i>a</i>代替上述①②两式中的底数<math display="0">
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>2</mn>
|
</mfrac>
|
</math>和2，那么函数<math display="0">
|
<mi>y</mi>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>2</mn>
|
</mfrac>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mi>x</mi>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</math>和 <i>y</i>=2<i><sup>x</sup></i>就可以表示为
|
</p>
|
<p class="center">
|
<i>y</i>=<i>a<sup>x</sup></i>
|
</p>
|
<p>
|
的形式，其中指数<i>x</i>是自变量，底数<i>a</i>是一个大于0且不等于
|
1的常量.
|
</p>
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn" alt="" src="../../assets/images/cxgk.jpg" />
|
</p>
|
<p>
|
一般地，形如<i>y</i>=<i>a<sup>x</sup></i>（<i>a</i>＞0，且<i>a</i>≠1）的函数叫作<b>指数函数</b>，其中指数<i>x</i>是自变量，定义域是<b>R</b>.
|
</p>
|
<p>
|
<b>例</b> 已知指数函数<i>f</i>（<i>x</i>）=<i>a<sup>x</sup></i>（<i>a</i>＞0，且<i>a</i>≠1），且<i>f</i>（3）=125.
|
</p>
|
<p>（1） 求函数<i>f</i>（<i>x</i>）的解析式；</p>
|
<p>
|
（2） 求<i>f</i>（0），<i>f</i>（2），<i>f</i>（-2），<math display="0">
|
<mi>f</mi>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>2</mn>
|
</mfrac>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
</math>的值.
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>解</b></span>（1）
|
因为<i>f</i>（<i>x</i>）=<i>a<sup>x</sup></i>（<i>a</i>＞0，且<i>a</i>≠1），且<i>f</i>（3）=125，所以<i>a</i><sup>3</sup>=125，解得<i>a</i>=5，于是<i>f</i>（<i>x</i>）=5<i><sup>x</sup></i>.
|
</p>
|
<p>
|
（2）
|
<i>f</i>（0）=5<sup>0</sup>=1，<i>f</i>（2）=5<sup>2</sup>=25，<math display="0">
|
<mi>f</mi>
|
<mo>−</mo>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mo>−</mo>
|
<mn>2</mn>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mn>5</mn>
|
<mrow>
|
<mo>−</mo>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<msup>
|
<mn>5</mn>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</mfrac>
|
<mo>=</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>25</mn>
|
</mfrac>
|
</math>，<math display="0">
|
<mi>f</mi>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>2</mn>
|
</mfrac>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mn>5</mn>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>2</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<msqrt>
|
<mn>5</mn>
|
</msqrt>
|
</math>.
|
</p>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
<!-- 123 -->
|
<div class="page-box" page="130">
|
<div v-if="showPageList.indexOf(130) > -1">
|
<ul class="page-header-box">
|
<li>
|
<p>第四单元 指数函数与对数函数</p>
|
</li>
|
<li>
|
<p><span>123</span></p>
|
</li>
|
</ul>
|
<div class="padding-116">
|
<div class="bk-hzjl">
|
<div class="bj1-hzjl">
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn2" alt="" src="../../assets/images/hzjl.jpg" />
|
</p>
|
</div>
|
<examinations :cardList="questionData[130]" :hideCollect="true" sourceType="json" v-if="questionData">
|
</examinations>
|
</div>
|
<div class="bk">
|
<div class="bj1">
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn1" alt="" src="../../assets/images/zshg.jpg" />
|
</p>
|
</div>
|
<p class="block">
|
初中我们学习了正比例函数、反比例函数和二次函数，通过描点法画出它们的图像分别是直线、双曲线和抛物线（如图4-1所示）.我们可类比借鉴学习上述函数的经验，画出指数函数的图像，再利用图像与解析式，研究其单调性、奇偶性等.
|
</p>
|
<p class="center">
|
<img class="img-a" alt="" src="../../assets/images/0134-3.jpg" />
|
</p>
|
<p class="img">图4-1</p>
|
</div>
|
<p><b>类比归纳</b></p>
|
<p>
|
与初中画二次函数图像一样，也可用描点法画出指数函数的图像.下面我们以<i>y</i>=2<i><sup>x</sup></i>和<math display="0">
|
<mi>y</mi>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>2</mn>
|
</mfrac>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mi>x</mi>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</math>为例，画出其函数图像.
|
</p>
|
<p>第一步：列表（如表4-2所示）.</p>
|
<p class="img">表4-2</p>
|
<p class="center">
|
<img class="img-a" alt="" src="../../assets/images/0134-5.jpg" />
|
</p>
|
<p>
|
第二步：描点，并且用光滑的曲线连接所描的点，画出它们的图像（如图4-2所示）.
|
</p>
|
<p>
|
利用相同方法，我们还可以在同一平面直角坐标系中画出<math display="0">
|
<mi>y</mi>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>2</mn>
|
<mn>5</mn>
|
</mfrac>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mi>x</mi>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</math>，
|
</p>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
<!-- 124 -->
|
<div class="page-box" page="131">
|
<div v-if="showPageList.indexOf(131) > -1">
|
<ul class="page-header-odd fl al-end">
|
<li>124</li>
|
<li>数学.基础模块</li>
|
<li>上册</li>
|
</ul>
|
<div class="padding-116">
|
<math display="0">
|
<mi>y</mi>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mi>x</mi>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</math>， <i>y</i>=2.3<i><sup>x</sup></i>，<i>y</i>=3<i><sup>x</sup></i>的图像，如图4-3所示.
|
<ul class="fl">
|
<li style="margin-top: 30px">
|
<p class="center">
|
<img class="img-a" alt="" src="../../assets/images/0135-2.jpg" />
|
</p>
|
<p class="img">图4-2</p>
|
</li>
|
<li>
|
<p class="center">
|
<img class="img-b" alt="" src="../../assets/images/0135-3.jpg" />
|
</p>
|
<p class="img">图4-3</p>
|
</li>
|
</ul>
|
<h3 id="c038">
|
4.2.2 指数函数的性质<span class="fontsz2">＞＞＞</span>
|
</h3>
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn" alt="" src="../../assets/images/gcsk.jpg" />
|
</p>
|
<p>
|
观察指数函数的图像，描述这些图像在位置、公共点和变化趋势等方面的共性特征.
|
</p>
|
<p>
|
（1） 图中所有指数函数图像均在<i>x</i>轴的上方（<b>位置特征</b>）；
|
</p>
|
<p>
|
（2） 图中所有指数函数图像都经过定点（0，1）（<b>公共点特征</b>）；
|
</p>
|
<p>
|
（3）
|
在定义域内，指数函数<i>y</i>=2<i><sup>x</sup></i>，<i>y</i>=2.3<i><sup>x</sup></i>，<i>y</i>=3<i><sup>x</sup></i>图像从左向右分别逐渐上升，在第二象限内向左与<i>x</i>轴无限接近；指数函数<math
|
display="0">
|
<mi>y</mi>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>2</mn>
|
</mfrac>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mi>x</mi>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</math>，<math display="0">
|
<mi>y</mi>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>2</mn>
|
<mn>5</mn>
|
</mfrac>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mi>x</mi>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</math>，<math display="0">
|
<mi>y</mi>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mi>x</mi>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</math>图像从左向右分别逐渐下降，在第一象限内向右与<i>x</i>轴无限接近（<b>变化趋势特征</b>）.
|
</p>
|
<p>
|
我们观察分析发现，指数函数<i>y</i>=<i>a<sup>x</sup></i>（<i>a</i>＞0，且<i>a</i>≠1）的图像按底数<i>a</i>的取值，可分为0＜<i>a</i>＜1和<i>a</i>＞1两种类型.
|
</p>
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn" alt="" src="../../assets/images/cxgk.jpg" />
|
</p>
|
<p>
|
一般地，指数函数<i>y</i>=<i>a<sup>x</sup></i>（<i>a</i>＞0，且<i>a</i>≠1）具有下列性质.
|
</p>
|
<p>（1） 函数的定义域为<i>R</i>，值域为（0，+∞）；</p>
|
<p>（2） 当<i>x</i>=0时，函数值<i>y</i>=1；</p>
|
<p>
|
（3）
|
当<i>a</i>＞1时，函数在（-∞，+∞）内是增函数；当0＜<i>a</i>＜1时，函数在（-∞，+∞）内是减函数.
|
</p>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
<!-- 125 -->
|
<div class="page-box" page="132">
|
<div v-if="showPageList.indexOf(132) > -1">
|
<ul class="page-header-box">
|
<li>
|
<p>第四单元 指数函数与对数函数</p>
|
</li>
|
<li>
|
<p><span>125</span></p>
|
</li>
|
</ul>
|
<div class="padding-116">
|
<p>
|
指数函数<i>y</i>=<i>a<sup>x</sup></i>（<i>a</i>＞0，且<i>a</i>≠1）的图像和性质可以总结如表4-3所示.
|
</p>
|
<p class="img">表4-3</p>
|
<p class="center">
|
<img class="img-a" alt="" src="../../assets/images/0136-1.jpg" />
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>例1</b></span> 判断下列函数哪些是指数函数，并画出函数图像验证.
|
</p>
|
<p>
|
（1） <i>y</i>=0.5<i><sup>x</sup></i>；（2） <i>y</i>=2×3<i><sup>x</sup></i>；（3） <i>y</i>=<i>x</i><sup>2</sup>.
|
</p>
|
<div class="bk">
|
<div class="bj1">
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn1" alt="" src="../../assets/images/tbts.jpg" />
|
</p>
|
</div>
|
<p class="block">
|
函数<i>y</i>=2×3<i><sup>x</sup></i>
|
</p>
|
<p class="block">
|
在形式上与指数函数相似，但不符合指数函数的定义，我们从其函数图像可以看到没有过定点（0，1）.
|
</p>
|
</div>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>解</b></span>
|
依据指数函数<i>y</i>=<i>a<sup>x</sup></i>的定义，<i>y</i>=0.5<i><sup>x</sup></i>是指数函数，<i>y</i>=2×3<i><sup>x</sup></i>和<i>y</i>=<i>x</i><sup>2</sup>不是指数函数.画出函数图像（如图4-4所示），函数<i>y</i>=0.5<i><sup>x</sup></i>的图像符合指数函数图像的特征；函数<i>y</i>=2×3<i><sup>x</sup></i>的图像虽与指数函数图像很相似，但并没有过定点（0，1）；函数<i>y</i>=<i>x</i><sup>2</sup>的图像是二次函数的图像.
|
</p>
|
<p class="center">
|
<img class="img-b" alt="" src="../../assets/images/0136-2.jpg" />
|
</p>
|
<p class="img">图4-4</p>
|
<div class="bk-hzjl">
|
<div class="bj1-hzjl">
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn2" alt="" src="../../assets/images/hzjl.jpg" />
|
</p>
|
</div>
|
<examinations :cardList="questionData[131]" :hideCollect="true" sourceType="json" v-if="questionData">
|
</examinations>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
<!-- 126 -->
|
<div class="page-box" page="133">
|
<div v-if="showPageList.indexOf(133) > -1">
|
<ul class="page-header-odd fl al-end">
|
<li>126</li>
|
<li>数学.基础模块</li>
|
<li>上册</li>
|
</ul>
|
<div class="padding-116">
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>例2</b></span> 判断下列函数在（-∞，+∞）内的单调性.
|
</p>
|
<p>
|
（1） <i>y</i>=4<i><sup>x</sup></i>；（2） <i>y</i>=3<i><sup>-x</sup></i>；（3）
|
<math display="0">
|
<mi>y</mi>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mi>x</mi>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</math>.
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>解</b></span>（1） 因为4＞1 ， 所以<i>y</i>=4<i><sup>x</sup></i>在（-∞，+∞）内是增函数（如图4-5所示）.
|
</p>
|
<p>
|
（2）
|
<math display="0">
|
<mi>y</mi>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mn>3</mn>
|
<mrow>
|
<mo>−</mo>
|
<mi>x</mi>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<msup>
|
<mn>3</mn>
|
<mrow>
|
<mo>−</mo>
|
<mn>1</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mi>x</mi>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mi>x</mi>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</math>，因为<math display="0">
|
<mn>0</mn>
|
<mo>＜</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
<mo>＜</mo>
|
<mn>1</mn>
|
</math>，所以<i>y</i>=3<i><sup>-x</sup></i>在（-∞，+∞）内是减函数（如图4-6所示）.
|
</p>
|
<p>
|
（3）<math display="0">
|
<mi>y</mi>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mi>x</mi>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mi>x</mi>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<mo stretchy="false">(</mo>
|
<mroot>
|
<mn>2</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mroot>
|
<msup>
|
<mo stretchy="false">)</mo>
|
<mrow>
|
<mi>x</mi>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</math>，因为<math display="0">
|
<mroot>
|
<mn>2</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mroot>
|
<mo>＞</mo>
|
<mn>1</mn>
|
</math>，所以<math display="0">
|
<mi>y</mi>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mi>x</mi>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</math>在（-∞，+∞）内是增函数（如图4-7所示）.
|
</p>
|
<ul class="fl">
|
<li>
|
<p class="center">
|
<img class="img-a" alt="" src="../../assets/images/0137-7.jpg" />
|
</p>
|
<p class="img">图4-5</p>
|
</li>
|
<li>
|
<p class="center">
|
<img class="img-a" alt="" src="../../assets/images/0137-8.jpg" />
|
</p>
|
<p class="img">图4-6</p>
|
</li>
|
<li>
|
<p class="center">
|
<img class="img-a" alt="" src="../../assets/images/0137-9.jpg" />
|
</p>
|
<p class="img">图4-7</p>
|
</li>
|
</ul>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>例3</b></span> 比较下列各题中两个值的大小.
|
</p>
|
<p>
|
（1） 1.8<sup>2.5</sup>与1.8<sup>3</sup>；（2）
|
0.9<sup>-0.2</sup>与0.9<sup>-0.3</sup>.
|
</p>
|
<p class="block">
|
<span
|
class="zt-ls2"><b>分析</b></span> 1.8<sup>2.5</sup>和1.8<sup>3</sup>分别可以看作<i>y</i>=1.8<i><sup>x</sup></i>在<i>x</i>=2.5和<i>x</i>=3处的函数值，这样就可以利用函数的单调性来比较函数值的大小.0.9<sup>-0.2</sup>和0.9<sup>-0.3</sup>分别可以看作<i>y</i>=0.9<i><sup>x</sup></i>在<i>x</i>=-0.2和<i>x</i>=-0.3处的函数值，同样可以利用函数的单调性来比较函数值的大小.
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>解</b></span>（1） 因为<i>y</i>=1.8<i><sup>x</sup></i>是<b>R</b>上的增函数，且2.5＜3，所以
|
</p>
|
<p class="center">1.8<sup>2.5</sup>＜1.8<sup>3</sup>.</p>
|
<p>
|
（2） 因为<i>y</i>=0.9<i><sup>x</sup></i>是<b>R</b>上的减函数，且-0.2＞-0.3，所以
|
</p>
|
<p class="center">0.9<sup>-0.2</sup>＜0.9<sup>-0.3</sup>.</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>例4</b></span> 求函数<math display="0">
|
<mi>y</mi>
|
<mo>=</mo>
|
<msqrt>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<mi>x</mi>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>−</mo>
|
<mn>4</mn>
|
</msqrt>
|
</math>的定义域.
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>解</b></span>
|
要使函数有意义，必须满足2<i><sup>x</sup></i>-4≥0，即2<i><sup>x</sup></i>≥4，又因为<i>y</i>=2<i><sup>x</sup></i>是增函数，所以<i>x</i>≥2.
|
</p>
|
<p>故函数的定义域为2，+∞）.</p>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
<!-- 127 -->
|
<div class="page-box" page="134">
|
<div v-if="showPageList.indexOf(134) > -1">
|
<ul class="page-header-box">
|
<li>
|
<p>第四单元 指数函数与对数函数</p>
|
</li>
|
<li>
|
<p><span>127</span></p>
|
</li>
|
</ul>
|
|
<div class="padding-116">
|
<p>
|
<span
|
class="zt-ls"><b>例5</b></span> 已知指数函数<i>f</i>（<i>x</i>）=<i>a<sup>x</sup></i>（<i>a</i>＞0，且<i>a</i>≠1）的图像过点（3，27）.
|
</p>
|
<p>
|
（1） 求<i>f</i>（-1） 的值；（2）
|
若<i>f</i>（m）≥9，求<i>m</i>的取值范围.
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>解</b></span>（1） 图像过点（3，27），即<i>x</i>=3时，<i>f</i>（3）=27.
|
</p>
|
<p>
|
由27=<i>a</i><sup>3</sup>，得<i>a</i>=3， 即<i>f</i>（<i>x</i>）=3<i><sup>x</sup></i>.
|
</p>
|
<p>
|
所以<math display="0">
|
<mi>f</mi>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mo>−</mo>
|
<mn>1</mn>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mn>3</mn>
|
<mrow>
|
<mo>−</mo>
|
<mn>1</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
</math>.
|
</p>
|
<p>
|
（2）
|
因为<i>f</i>（<i>m</i>）=3<i><sup>m</sup></i>，所以得到3<i><sup>m</sup></i>≥9，即3<i><sup>m</sup></i>≥3<sup>2</sup>.
|
</p>
|
<p>
|
函数<i>y</i>=3<i><sup>x</sup></i>在定义域内是增函数.
|
</p>
|
<p>因此，<i>m</i>≥2，即<i>m</i>的取值范围为[2，+∞）.</p>
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn" alt="" src="../../assets/images/stlx.jpg" />
|
</p>
|
<div class="bj">
|
<examinations :cardList="questionData[134]" :hideCollect="true" sourceType="json" v-if="questionData">
|
</examinations>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
<!-- 128 -->
|
<div class="page-box" page="135">
|
<div v-if="showPageList.indexOf(135) > -1">
|
<ul class="page-header-odd fl al-end">
|
<li>128</li>
|
<li>数学.基础模块</li>
|
<li>上册</li>
|
</ul>
|
<div class="padding-116">
|
<h3 id="c039">习题4.2<span class="fontsz2">＞＞＞</span></h3>
|
<div class="bj">
|
<examinations :cardList="questionData[135]" :hideCollect="true" sourceType="json" v-if="questionData">
|
</examinations>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
<!-- 129 -->
|
<div class="page-box" page="136">
|
<div v-if="showPageList.indexOf(136) > -1">
|
<ul class="page-header-box">
|
<li>
|
<p>第四单元 指数函数与对数函数</p>
|
</li>
|
<li>
|
<p><span>129</span></p>
|
</li>
|
</ul>
|
<div class="padding-116">
|
<h2 id="b024">
|
4.3 对数<span class="fontsz1">＞＞＞＞＞＞＞＞</span>
|
</h2>
|
<h3 id="c040">4.3.1 对数的定义<span class="fontsz2">＞＞＞</span></h3>
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn" alt="" src="../../assets/images/wttc.jpg" />
|
</p>
|
<p>
|
在上一节“观察思考”的情境1中，我们提到了《庄子·天下篇》中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.现已知“一尺之棰”剩下八分之一尺，请问过去了几天？如果是剩下<i>N</i>尺呢？
|
</p>
|
<div class="bk">
|
<div class="bj1">
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn1" alt="" src="../../assets/images/gn.jpg" />
|
</p>
|
</div>
|
<p class="block">对数</p>
|
<p class="block">底数</p>
|
<p class="block">真数</p>
|
<p class="block">指数式</p>
|
<p class="block">对数式</p>
|
<p class="block">常用对数</p>
|
<p class="block">自然对数</p>
|
</div>
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn" alt="" src="../../assets/images/cxgk.jpg" />
|
</p>
|
<p>
|
一般地，如果<i>a<sup>x</sup></i>=<i>N</i>（<i>a</i>＞0，且<i>a</i>≠1），那么数<i>x</i>叫作以<i>a</i>为底<i>N</i>的<b>对数</b>，记作
|
</p>
|
<p class="center"><i>x</i>=log<sub>a</sub><i>N</i>.</p>
|
<p>
|
其中<i>a</i>叫作对数的<b>底数</b>（简称底），<i>N</i>叫作<b>真数</b>.
|
</p>
|
<p>
|
例如，2<sup>3</sup>=8，所以3就是以2为底8的对数，记作3=log
|
<sub>2</sub>8；再如，2<i><sup>x</sup></i>=<i>N</i>，所以<i>x</i>是以2为底<i>N</i>的对数，记作<i>x</i>=log
|
<sub>2</sub><i>N</i>.
|
</p>
|
<p>
|
式子<i>a<sup>b</sup></i>=<i>N</i>叫作<b>指数式</b>，log
|
<i><sub>a</sub>N</i>=<i>b</i>叫作<b>对数式</b>.它们的关系如下.
|
</p>
|
<p class="center">
|
<img class="img-c" alt="" src="../../assets/images/0140-3.jpg" />
|
</p>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
<!-- 130 -->
|
<div class="page-box" page="137">
|
<div v-if="showPageList.indexOf(137) > -1">
|
<ul class="page-header-odd fl al-end">
|
<li>130</li>
|
<li>数学.基础模块</li>
|
<li>上册</li>
|
</ul>
|
<div class="padding-116">
|
<p>
|
通常，我们把以10为底的对数叫作<b>常用对数</b>，<i>N</i>的常用对数log
|
<sub>10</sub><i>N</i>简记作lg<i>N</i>.例如，log<sub>10</sub>5简记作lg5.
|
</p>
|
<p>
|
另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用无理数e，它的值为2.718
|
28…，以e为底的对数叫作<b>自然对数</b>.<i>N</i>的自然对数log
|
<sub>e</sub><i>N</i>简记作ln<i>N</i>.例如，log<sub>e</sub>8简记作ln8.
|
</p>
|
<p>根据对数的定义，对数有以下性质.</p>
|
<p>（1） 零和负数没有对数；</p>
|
<p>
|
（2） log<i><sub>a</sub></i>1=0，即1的对数为0；
|
</p>
|
<p>
|
（3） log<i><sub>a</sub>a</i>=1，即底数的对数为1.
|
</p>
|
<div class="bk-hzjl">
|
<div class="bj1-hzjl">
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn2" alt="" src="../../assets/images/hzjl.jpg" />
|
</p>
|
</div>
|
<examinations :cardList="questionData[137]" :hideCollect="true" sourceType="json" v-if="questionData">
|
</examinations>
|
</div>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>例1</b></span> 把下列指数式写成对数式.
|
</p>
|
<p>
|
（1） 5<sup>4</sup>=625；（2）
|
<math display="0">
|
<msup>
|
<mn>8</mn>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>4</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<mn>16</mn>
|
</math>；（3） 10<sup>-2</sup>=0.01.
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>解</b></span>（1） log<sub>5</sub>625=4；（2）
|
<math display="0">
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mn>8</mn>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mn>16</mn>
|
<mo>=</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>4</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
</math>；（3） lg0.01=-2.
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>例2</b></span> 把下列对数式写成指数式.
|
</p>
|
<p>
|
（1） log<sub>3</sub>243=5；（2）
|
<math display="0">
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>27</mn>
|
</mfrac>
|
<mo>=</mo>
|
<mn>3</mn>
|
</math>；（3） <i>ln</i>1=0.
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>解</b></span>（1） 3<sup>5</sup>=243；（2）
|
<math display="0">
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>27</mn>
|
</mfrac>
|
</math>；（3） <i>e</i><sup>0</sup>=1.
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>例3</b></span> 求下列各式中<i>N</i>的值.
|
</p>
|
<p>
|
（1） lg<i>N</i>=-3；（2）
|
<math display="0">
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mn>8</mn>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mi mathvariant="bold">N</mi>
|
<mo>=</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>2</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
</math>.
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>解</b></span>（1） 由lg<i>N</i>=-3，得<i>N</i>=10<sup>-3</sup>=0.001；
|
</p>
|
<p>
|
（2） 由<math display="0">
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mn>8</mn>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mi mathvariant="bold">N</mi>
|
<mo>=</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>2</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
</math>，得<math display="0">
|
<mi mathvariant="bold">N</mi>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mn>8</mn>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>2</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>2</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<mn>4</mn>
|
</math>.
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>例4</b></span> 求下列各式中<i>x</i>的值.
|
</p>
|
<p>
|
（1） log <sub>2</sub>8=<i>x</i>；（2） log
|
<sub>4</sub>4<sup>5</sup>=<i>x</i>.
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>解</b></span>（1） 由log
|
<sub>2</sub>8=<i>x</i>，得2<i><sup>x</sup></i>=8，即2<i><sup>x</sup></i>=2<sup>3</sup>，所以<i>x</i>=3；
|
</p>
|
<p>
|
（2） 由log <sub>4</sub>4<sup>5</sup>=<i>x</i>，得4<i><sup>x</sup></i>=4<sup>5</sup>，所以<i>x</i>=5.
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>例5</b></span> 求下列各式的值.
|
</p>
|
<p>
|
（1） log<sub>5</sub>1；（2） log<sub>7</sub>7；（3） lg 10；（4）
|
ln e.
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls2"><b>分析</b></span> 利用性质“1的对数为0”和“底数的对数为1” 直接得答案，不必转化成指
|
</p>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
<!-- 131 -->
|
<div class="page-box" page="138">
|
<div v-if="showPageList.indexOf(138) > -1">
|
<ul class="page-header-box">
|
<li>
|
<p>第四单元 指数函数与对数函数</p>
|
</li>
|
<li>
|
<p><span>131</span></p>
|
</li>
|
</ul>
|
<div class="padding-116">
|
<p>数式.</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>解</b></span>（1） log<sub>5</sub>1=0；（2） log<sub>7</sub>7=1；
|
</p>
|
<p>（3） lg10=log<sub>10</sub>10=1；（4） ln e=log<sub>e</sub>e=1.</p>
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn" alt="" src="../../assets/images/stlx.jpg" />
|
</p>
|
<div class="bj">
|
<examinations :cardList="questionData[138]" :hideCollect="true" sourceType="json" v-if="questionData">
|
</examinations>
|
</div>
|
<h3 id="c041">
|
4.3.2 对数的运算性质<span class="fontsz2">＞＞＞</span>
|
</h3>
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn" alt="" src="../../assets/images/gcsk.jpg" />
|
</p>
|
<p>
|
利用对数式与指数式的关系，填写表4-4，猜想对数的运算性质，并与同学交流.
|
</p>
|
<p class="img">表4-4</p>
|
<p class="center">
|
<img class="img-a" alt="" src="../../assets/images/0142-8.jpg" />
|
</p>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
<!-- 132 -->
|
<div class="page-box" page="139">
|
<div v-if="showPageList.indexOf(139) > -1">
|
<ul class="page-header-odd fl al-end">
|
<li>132</li>
|
<li>数学.基础模块</li>
|
<li>上册</li>
|
</ul>
|
<div class="padding-116">
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn" alt="" src="../../assets/images/cxgk.jpg" />
|
</p>
|
<p>我们可以得到两个正数的积、商、幂的对数运算性质.</p>
|
<p>
|
（1）
|
积的对数：<b>两个正数积的对数，等于同一底数的这两个数的对数的和</b>，即
|
</p>
|
<p class="center">
|
log<i><sub>a</sub></i>（<i>MN</i>）=log<i><sub>a</sub>M</i>+log
|
<i><sub>a</sub>N</i>（<i>a</i>＞0，且<i>a</i>≠1）.
|
</p>
|
<p>
|
<b>证明</b> 设log<i><sub>a</sub>M</i>=<i>p</i>，log<i><sub>a</sub>N</i>=<i>q</i>，
|
</p>
|
<p>
|
根据对数的定义，得<i>M</i>=<i>a<sup>p</sup></i>，<i>N</i>=<i>a<sup>q</sup></i>，
|
</p>
|
<p>
|
所以 <i>MN</i>=<i>a<sup>p</sup> a<sup>q</sup></i>=<i>a<sup>p+q</sup></i>.
|
</p>
|
<p>把指数式化为对数式，得</p>
|
<p class="center">
|
log<i><sub>a</sub></i>（<i>MN</i>）=<i>p</i>+<i>q</i>=log<i><sub>a</sub>M</i>+log<i><sub>a</sub>N</i>.
|
</p>
|
<p>
|
（2）
|
商的对数：<b>两个正数商的对数，等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数，</b>即
|
</p>
|
<math display="block">
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mfrac>
|
<mi>M</mi>
|
<mi mathvariant="bold">N</mi>
|
</mfrac>
|
<mo>=</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>M</mi>
|
<mo>−</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi mathvariant="bold">N</mi>
|
<mo stretchy="false">(</mo>
|
<mi>a</mi>
|
<mo>></mo>
|
<mn>0</mn>
|
<mtext>, 且 </mtext>
|
<mi>a</mi>
|
<mo>≠</mo>
|
<mn>1</mn>
|
<mo stretchy="false">)</mo>
|
<mtext>. </mtext>
|
</math>
|
<p>
|
（3）
|
幂的对数：<b>一个正数幂的对数，等于幂指数乘这个数的对数，</b>即
|
</p>
|
<p class="center">
|
log<i><sub>a</sub>M<sup>q</sup></i>=<i>q</i>log
|
<i><sub>a</sub>M</i>（<i>a</i>＞0，且<i>a</i>≠1，<i>q</i>∈<b>R</b>）.
|
</p>
|
<p>
|
特别地，log<i><sub>a</sub>a<sup>b</sup></i>=<i>b</i>（<i>a</i>＞0，且<i>a</i>≠1）.
|
</p>
|
<div class="bk-hzjl">
|
<div class="bj1-hzjl">
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn2" alt="" src="../../assets/images/hzjl.jpg" />
|
</p>
|
</div>
|
<examinations :cardList="questionData[139]" :hideCollect="true" sourceType="json" v-if="questionData">
|
</examinations>
|
</div>
|
<p>
|
<span
|
class="zt-ls"><b>例1</b></span> 用log<i><sub>a</sub>x</i>，log<i><sub>a</sub>y</i>，log<i><sub>a</sub>z</i>表示下列各式（式中字母均为正实数且<i>a</i>≠1）.
|
</p>
|
<p>
|
（1） log<i><sub>a</sub></i>（<i>x</i><sup>2</sup><i>yz</i><sup>3</sup>）；（2）<math display="0">
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mfrac>
|
<msup>
|
<mi>x</mi>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mrow>
|
<mi>y</mi>
|
<mi>z</mi>
|
</mrow>
|
</mfrac>
|
</math>；（3）
|
<math display="0">
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mfrac>
|
<msqrt>
|
<mi>x</mi>
|
</msqrt>
|
<mrow>
|
<msup>
|
<mi>y</mi>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mi>z</mi>
|
</mrow>
|
</mfrac>
|
</math>.
|
</p>
|
<p class="block">
|
<span class="zt-ls2"><b>分析</b></span> 利用对数运算性质进行化简运算.
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>解</b></span>
|
</p>
|
<p class="left1">
|
<math display="">
|
<mo stretchy="false">（1）</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<msup>
|
<mi>x</mi>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mi>y</mi>
|
<msup>
|
<mi>z</mi>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mo>=</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<msup>
|
<mi>x</mi>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>+</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>y</mi>
|
<mo>+</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<msup>
|
<mi>z</mi>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<mn>2</mn>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>x</mi>
|
<mo>+</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>y</mi>
|
<mo>+</mo>
|
<mn>3</mn>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>z</mi>
|
<mo>;</mo>
|
</math>
|
</p>
|
<p class="left1">
|
<math display="">
|
<mo stretchy="false">（2）</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mfrac>
|
<msup>
|
<mi>x</mi>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mrow>
|
<mi>y</mi>
|
<mi>z</mi>
|
</mrow>
|
</mfrac>
|
<mo>=</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<msup>
|
<mi>x</mi>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>−</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mo stretchy="false">(</mo>
|
<mi>y</mi>
|
<mi>z</mi>
|
<mo stretchy="false">)</mo>
|
<mo>=</mo>
|
<mn>2</mn>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>x</mi>
|
<mo>−</mo>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>y</mi>
|
<mo>+</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>z</mi>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mo>=</mo>
|
<mn>2</mn>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>x</mi>
|
<mo>−</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>y</mi>
|
<mo>−</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>z</mi>
|
<mo>;</mo>
|
</math>
|
</p>
|
<p class="left1">
|
<math display="">
|
<mo stretchy="false">（3）</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mfrac>
|
<msqrt>
|
<mi>x</mi>
|
</msqrt>
|
<mrow>
|
<msup>
|
<mi>y</mi>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mi>z</mi>
|
</mrow>
|
</mfrac>
|
<mo>=</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<msqrt>
|
<mi>x</mi>
|
</msqrt>
|
<mo>−</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<msup>
|
<mi>y</mi>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mi>z</mi>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mo>=</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>2</mn>
|
</mfrac>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>x</mi>
|
<mo>−</mo>
|
<mn>2</mn>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>y</mi>
|
<mo>−</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>z</mi>
|
<mo>.</mo>
|
</math>
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>例2</b></span> 计算.
|
</p>
|
<p>
|
（1）
|
<math display="0">
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mn>5</mn>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mroot>
|
<mn>25</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mroot>
|
</math>；（2） log <sub>3</sub>（9<sup>3</sup>×3<sup>5</sup>）；（3） log
|
<sub>7</sub>56-log<sub>7</sub>8.
|
</p>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
<!-- 133 -->
|
<div class="page-box" page="140">
|
<div v-if="showPageList.indexOf(140) > -1">
|
<ul class="page-header-box">
|
<li>
|
<p>第四单元 指数函数与对数函数</p>
|
</li>
|
<li>
|
<p><span>133</span></p>
|
</li>
|
</ul>
|
|
<div class="padding-116">
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>解</b></span>
|
</p>
|
<p class="left1">
|
<math display="">
|
<mo stretchy="false">（1）</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mn>5</mn>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mroot>
|
<mn>25</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mroot>
|
<mo>=</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mn>5</mn>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mroot>
|
<msup>
|
<mn>5</mn>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mn>3</mn>
|
</mroot>
|
<mo>=</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mn>5</mn>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<msup>
|
<mn>5</mn>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>2</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>2</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mn>5</mn>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mn>5</mn>
|
<mo>=</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>2</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
<mo>;</mo>
|
</math>
|
</p>
|
<p class="left1">
|
<math display="">
|
<mo stretchy="false">（2）</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<msup>
|
<mn>9</mn>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>×</mo>
|
<msup>
|
<mn>3</mn>
|
<mrow>
|
<mn>5</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mo>=</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<msup>
|
<mn>9</mn>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>+</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<msup>
|
<mn>3</mn>
|
<mrow>
|
<mn>5</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<msup>
|
<mn>3</mn>
|
<mrow>
|
<mn>6</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>+</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<msup>
|
<mn>3</mn>
|
<mrow>
|
<mn>5</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<mn>6</mn>
|
<mo>+</mo>
|
<mn>5</mn>
|
<mo>=</mo>
|
<mn>11</mn>
|
<mo>;</mo>
|
</math>
|
</p>
|
<p class="left1">
|
<math display="">
|
<mo stretchy="false">（3）</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mn>7</mn>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mn>56</mn>
|
<mo>−</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mn>7</mn>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mn>8</mn>
|
<mo>=</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mn>7</mn>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mfrac>
|
<mn>56</mn>
|
<mn>8</mn>
|
</mfrac>
|
<mo>=</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mn>7</mn>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mn>7</mn>
|
<mo>=</mo>
|
<mn>1</mn>
|
<mo>.</mo>
|
</math>
|
</p>
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn" alt="" src="../../assets/images/stlx.jpg" />
|
</p>
|
<div class="bj">
|
<examinations :cardList="questionData[140]" :hideCollect="true" sourceType="json" inputBc="#d3edfa" v-if="questionData">
|
</examinations>
|
</div>
|
<h3 id="c042">
|
4.3.3（选学）换底公式、对数恒等式<span class="fontsz2">＞＞＞</span>
|
</h3>
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn" alt="" src="../../assets/images/fxlj.jpg" />
|
</p>
|
<p>
|
设log<i><sub>a</sub>N</i>=<i>x</i>，则<i>a<sup>x</sup></i>=<i>N</i>，两边取以<i>c</i>为底的对数，得log<i><sub>c</sub>a<sup>x</sup></i>=log<i><sub>c</sub>N</i>，于是<i>x</i>log<i><sub>c</sub>a</i>=log<i><sub>c</sub>N</i>，即<math
|
display="0">
|
<mi>x</mi>
|
<mo>=</mo>
|
<mfrac>
|
<mrow>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>c</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi mathvariant="bold">N</mi>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>c</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</mfrac>
|
</math>，所以<math display="0">
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi mathvariant="bold">N</mi>
|
<mo>=</mo>
|
<mfrac>
|
<mrow>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>c</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi mathvariant="bold">N</mi>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>c</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</mfrac>
|
</math>.
|
</p>
|
<p>于是，我们有<b>对数的换底公式：</b></p>
|
<math display="block">
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>b</mi>
|
<mo>=</mo>
|
<mfrac>
|
<mrow>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>c</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>b</mi>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>c</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</mfrac>
|
<mo stretchy="false">(</mo>
|
<mi>a</mi>
|
<mo>></mo>
|
<mn>0</mn>
|
<mo>,</mo>
|
<mtext> 且 </mtext>
|
<mi>a</mi>
|
<mo>≠</mo>
|
<mn>1</mn>
|
<mo>;</mo>
|
<mi>c</mi>
|
<mo>></mo>
|
<mn>0</mn>
|
<mtext>, 且 </mtext>
|
<mi>c</mi>
|
<mo>≠</mo>
|
<mn>1</mn>
|
<mo stretchy="false">)</mo>
|
<mtext>. </mtext>
|
</math>
|
<p>特别地，</p>
|
<math display="block">
|
<mtable columnalign="left" columnspacing="1em" rowspacing="4pt">
|
<mtr>
|
<mtd>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>b</mi>
|
<mo>=</mo>
|
<mfrac>
|
<mrow>
|
<mi>lg</mi>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>b</mi>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mi>lg</mi>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</mfrac>
|
<mo stretchy="false">(</mo>
|
<mi>a</mi>
|
<mo>></mo>
|
<mn>0</mn>
|
<mo>,</mo>
|
<mtext> 且 </mtext>
|
<mi>a</mi>
|
<mo>≠</mo>
|
<mn>1</mn>
|
<mo stretchy="false">)</mo>
|
<mo>;</mo>
|
</mtd>
|
</mtr>
|
<mtr>
|
<mtd>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>b</mi>
|
<mo>=</mo>
|
<mfrac>
|
<mrow>
|
<mi>ln</mi>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>b</mi>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mi>ln</mi>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</mfrac>
|
<mo stretchy="false">(</mo>
|
<mi>a</mi>
|
<mo>></mo>
|
<mn>0</mn>
|
<mo>,</mo>
|
<mtext> 且 </mtext>
|
<mi>a</mi>
|
<mo>≠</mo>
|
<mn>1</mn>
|
<mo stretchy="false">)</mo>
|
<mo>.</mo>
|
</mtd>
|
</mtr>
|
</mtable>
|
</math>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
<!-- 134 -->
|
<div class="page-box" page="141">
|
<div v-if="showPageList.indexOf(141) > -1">
|
<ul class="page-header-odd fl al-end">
|
<li>134</li>
|
<li>数学.基础模块</li>
|
<li>上册</li>
|
</ul>
|
<div class="padding-116">
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>例1</b></span> 求log<sub>27</sub>8·log <sub>32</sub>9的值.
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>解</b></span>
|
</p>
|
<math display="block">
|
<mtable displaystyle="true" columnalign="right left right left right left right left right left right left"
|
columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" rowspacing="3pt">
|
<mtr>
|
<mtd>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mn>27</mn>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mn>8</mn>
|
<mo>⋅</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mn>32</mn>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mn>9</mn>
|
</mtd>
|
<mtd>
|
<mi></mi>
|
<mo>=</mo>
|
<mfrac>
|
<mrow>
|
<mi>lg</mi>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mn>8</mn>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mi>lg</mi>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mn>27</mn>
|
</mrow>
|
</mfrac>
|
<mo>⋅</mo>
|
<mfrac>
|
<mrow>
|
<mi>lg</mi>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mn>9</mn>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mi>lg</mi>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mn>32</mn>
|
</mrow>
|
</mfrac>
|
<mo>=</mo>
|
<mfrac>
|
<mrow>
|
<mi>lg</mi>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mi>lg</mi>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<msup>
|
<mn>3</mn>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</mrow>
|
</mfrac>
|
<mo>⋅</mo>
|
<mfrac>
|
<mrow>
|
<mi>lg</mi>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<msup>
|
<mn>3</mn>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mi>lg</mi>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<mn>5</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</mrow>
|
</mfrac>
|
</mtd>
|
</mtr>
|
<mtr>
|
<mtd></mtd>
|
<mtd>
|
<mi></mi>
|
<mo>=</mo>
|
<mfrac>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
<mi>lg</mi>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
<mi>lg</mi>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</mfrac>
|
<mo>⋅</mo>
|
<mfrac>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
<mi>lg</mi>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mn>5</mn>
|
<mi>lg</mi>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</mfrac>
|
<mo>=</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>2</mn>
|
<mn>5</mn>
|
</mfrac>
|
<mo>.</mo>
|
</mtd>
|
</mtr>
|
</mtable>
|
</math>
|
<p>
|
<span
|
class="zt-ls"><b>例2</b></span> 求证：log<i><sub>a</sub>b</i>·log<i><sub>b</sub>c</i>·log<i><sub>c</sub>a</i>=1（<i>a</i>，<i>b</i>，<i>c</i>均为正实数，且均不等于1）.
|
</p>
|
<p>
|
<b>证明</b>
|
<math display="0">
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>b</mi>
|
<mo>⋅</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>b</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>c</mi>
|
<mo>⋅</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>c</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>a</mi>
|
<mo>=</mo>
|
<mfrac>
|
<mrow>
|
<mi>lg</mi>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>b</mi>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mi>lg</mi>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</mfrac>
|
<mo>⋅</mo>
|
<mfrac>
|
<mrow>
|
<mi>lg</mi>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>c</mi>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mi>lg</mi>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>b</mi>
|
</mrow>
|
</mfrac>
|
<mo>⋅</mo>
|
<mfrac>
|
<mrow>
|
<mi>lg</mi>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mi>lg</mi>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>c</mi>
|
</mrow>
|
</mfrac>
|
<mo>=</mo>
|
<mn>1</mn>
|
</math>.
|
</p>
|
<p>设</p>
|
<math display="block">
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mi>b</mi>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<mi mathvariant="bold">N</mi>
|
<mo stretchy="false">(</mo>
|
<mi>a</mi>
|
<mo>></mo>
|
<mn>0</mn>
|
<mtext>, 且 </mtext>
|
<mi>a</mi>
|
<mo>≠</mo>
|
<mn>1</mn>
|
<mo stretchy="false">)</mo>
|
<mtext>, </mtext>
|
</math>
|
<p class="right">①</p>
|
<p>由对数定义得</p>
|
<math display="block">
|
<mi>b</mi>
|
<mo>=</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mi mathvariant="bold">N</mi>
|
<mo>，</mo>
|
</math>
|
<p class="right">②</p>
|
<p>把②代入①中，得</p>
|
<math display="block">
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi mathvariant="bold">N</mi>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<mi mathvariant="bold">N</mi>
|
<mo stretchy="false">(</mo>
|
<mi>a</mi>
|
<mo>></mo>
|
<mn>0</mn>
|
<mtext>, 且 </mtext>
|
<mi>a</mi>
|
<mo>≠</mo>
|
<mn>1</mn>
|
<mo stretchy="false">)</mo>
|
<mtext>. </mtext>
|
</math>
|
<p>这个式子叫<b>对数恒等式</b>.</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>例3</b></span> 求下列各式的值.
|
</p>
|
<p>
|
（1）
|
<math display="0">
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mn>7</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</math>；（2）
|
<math display="0">
|
<msup>
|
<mn>4</mn>
|
<mrow>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mn>7</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</math>；（3）
|
<math display="0">
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<mn>1</mn>
|
<mo>+</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mn>7</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</math>.
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>解</b></span>
|
</p>
|
<p class="left1">
|
<math display="">
|
<mo stretchy="false">（1）</mo>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mn>7</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<mn>7</mn>
|
<mo>;</mo>
|
</math>
|
</p>
|
<p class="left1">
|
<math display="">
|
<mo stretchy="false">（2）</mo>
|
<msup>
|
<mn>4</mn>
|
<mrow>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mn>7</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mn>7</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mn>7</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<msup>
|
<mn>7</mn>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mn>49</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<mn>49</mn>
|
<mo>;</mo>
|
</math>
|
</p>
|
<p class="left1">
|
<math display="">
|
<mo stretchy="false">（3）</mo>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<mn>1</mn>
|
<mo>+</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mn>7</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<mn>1</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>×</mo>
|
<msup>
|
<mn>2</mn>
|
<mrow>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mn>2</mn>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mn>7</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<mn>2</mn>
|
<mo>×</mo>
|
<mn>7</mn>
|
<mo>=</mo>
|
<mn>14</mn>
|
<mo>.</mo>
|
</math>
|
</p>
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn" alt="" src="../../assets/images/stlx.jpg" />
|
</p>
|
<div class="bj">
|
<examinations :cardList="questionData[141]" :hideCollect="true" sourceType="json" v-if="questionData">
|
</examinations>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
<!-- 135 -->
|
<div class="page-box" page="142">
|
<div v-if="showPageList.indexOf(142) > -1">
|
<ul class="page-header-box">
|
<li>
|
<p>第四单元 指数函数与对数函数</p>
|
</li>
|
<li>
|
<p><span>135</span></p>
|
</li>
|
</ul>
|
<div class="padding-116">
|
<h3 id="c043">习题4.3<span class="fontsz2">＞＞＞</span></h3>
|
<div class="bj">
|
<examinations :cardList="questionData[142]" :hideCollect="true" sourceType="json" v-if="questionData">
|
</examinations>
|
</div>
|
<h2 id="b025">
|
4.4 对数函数<span class="fontsz1">＞＞＞＞＞＞＞＞</span>
|
</h2>
|
<h3 id="c044">
|
4.4.1 对数函数的定义<span class="fontsz2">＞＞＞</span>
|
</h3>
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn" alt="" src="../../assets/images/wttc.jpg" />
|
</p>
|
<p>
|
在第二节“观察思考”的情境2中，细胞由1个分裂为2个，2个分裂为4个……如果已知分裂<i>x</i>次后对应细胞数量是1
|
024个，那么如何求分裂的次数<i>x</i>呢？
|
</p>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
<!-- 136 -->
|
<div class="page-box" page="143">
|
<div v-if="showPageList.indexOf(143) > -1">
|
<ul class="page-header-odd fl al-end">
|
<li>136</li>
|
<li>数学.基础模块</li>
|
<li>上册</li>
|
</ul>
|
|
<div class="padding-116">
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn" alt="" src="../../assets/images/fxlj.jpg" />
|
</p>
|
<p>
|
设1个细胞经过<i>y</i>次分裂后得到<i>x</i>个细胞，则<i>x</i>与<i>y</i>的函数关系式为<i>x</i>=2<i><sup>y</sup></i>，将此指数式写为对数式，得到
|
</p>
|
<p class="center"><i>y</i>=log<sub>2</sub><i>x</i>.</p>
|
<p>这个式子就是用分裂后的细胞数量<i>x</i>来表示分裂的次数<i>y</i>.</p>
|
<div class="bk">
|
<div class="bj1">
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn1" alt="" src="../../assets/images/gn.jpg" />
|
</p>
|
</div>
|
<p class="block">对数函数</p>
|
</div>
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn" alt="" src="../../assets/images/cxgk.jpg" />
|
</p>
|
<p>
|
通过指数与对数的关系我们观察到：<i>y</i>=log<sub>2</sub><i>x</i>是一个函数，其自变量<i>x</i>位于真数位置，底数是常数.类比指数函数定义的学习过程，我们可以用字母<i>a</i>代替底数2，即有<i>y</i>=log<sub>a</sub><i>x</i>（<i>a</i>＞0，且<i>a</i>≠1）这类特征的函数.
|
</p>
|
<p>
|
一般地，形如<i>y</i>=log<i><sub>a</sub>x</i>（<i>a</i>＞0，且<i>a</i>≠1）的函数叫作<b>对数函数</b>，其中<i>x</i>是自变量，函数的定义域为（0，+∞）.
|
</p>
|
<p>
|
例如，<i>y</i>=log<sub>2</sub><i>x</i>，<math display="0">
|
<mi>y</mi>
|
<mo>=</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>x</mi>
|
</math>，<i>y</i>=lg <i>x</i>，<i>y</i>=ln <i>x</i>都是对数函数.
|
</p>
|
<div class="bk">
|
<div class="bj1">
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn1" alt="" src="../../assets/images/tbts.jpg" />
|
</p>
|
</div>
|
<p class="block">
|
1.对数函数与指数函数的底数<i>a</i>的取值范围保持一致.
|
</p>
|
<p class="block">2.由于对数的</p>
|
<p class="block">
|
真数的取值范围为（0，+∞），所以对数函数自变量<i>x</i>的取值范围为（0，+∞）.
|
</p>
|
</div>
|
<p>
|
<span
|
class="zt-ls"><b>例1</b></span> 已知对数函数<i>f</i>（<i>x</i>）=log<i><sub>a</sub>x</i>（<i>a</i>＞0，且<i>a</i>≠1），且<i>f</i>（9）=
|
2，求<i>f</i>（3），<i>f</i>（1），<math display="0">
|
<mi>f</mi>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>27</mn>
|
</mfrac>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
</math>的值.
|
</p>
|
<p class="block">
|
<span class="zt-ls2"><b>分析</b></span> 首先根据条件确定底数<i>a</i>，然后再计算对应函数值.
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>解</b></span> 因为<i>f</i>（9）=2，得2=log<i><sub>a</sub></i>9.
|
</p>
|
<p>于是<i>a</i><sup>2</sup>=9，得<i>a</i>=3，</p>
|
<p>函数解析式为<i>f</i>（<i>x</i>）=log<sub>3</sub><i>x</i>.</p>
|
<p>
|
所以<i>f</i>（3）=log<sub>3</sub>3=1，
|
<i>f</i>（1）=log<sub>3</sub>1=0，
|
</p>
|
<p>
|
<math display="0">
|
<mi>f</mi>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>27</mn>
|
</mfrac>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
<mo>=</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>27</mn>
|
</mfrac>
|
<mo>=</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<msup>
|
<mn>3</mn>
|
<mrow>
|
<mo>−</mo>
|
<mn>3</mn>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<mo>−</mo>
|
<mn>3</mn>
|
</math>.
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>例2</b></span> 求下列函数的定义域.
|
</p>
|
<p>
|
（1） <i>y</i>=log <sub>0.5</sub>（<i>x</i>-3）；（2）
|
<i>y</i>=log<sub>3</sub>（4-<i>x</i><sup>2</sup>）.
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>解</b></span>（1） 要使函数有意义，必须满足<i>x</i>-3＞0，解得<i>x</i>＞3.
|
</p>
|
<p>
|
所以，<i>y</i>=log <sub>0.5</sub>（<i>x</i>-3）的定义域是（3，+∞）.
|
</p>
|
<p>
|
（2） 要使函数有意义，必须满足4-<i>x</i><sup>2</sup>＞0，解得
|
-2＜<i>x</i>＜2.
|
</p>
|
<p>
|
所以，<i>y</i>=log<sub>3</sub>（4-<i>x</i><sup>2</sup>）的定义域是（-2，2）.
|
</p>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
<!-- 137 -->
|
<div class="page-box" page="144">
|
<div v-if="showPageList.indexOf(144) > -1">
|
<ul class="page-header-box">
|
<li>
|
<p>第四单元 指数函数与对数函数</p>
|
</li>
|
<li>
|
<p><span>137</span></p>
|
</li>
|
</ul>
|
|
<div class="padding-116">
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn" alt="" src="../../assets/images/stlx.jpg" />
|
</p>
|
<div class="bj">
|
<examinations :cardList="questionData[144]" :hideCollect="true" sourceType="json" inputBc="#d3edfa" v-if="questionData">
|
</examinations>
|
</div>
|
<h3 id="c045">
|
4.4.2 对数函数的图像与性质<span class="fontsz2">＞＞＞</span>
|
</h3>
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn" alt="" src="../../assets/images/gcsk.jpg" />
|
</p>
|
<p>
|
与研究指数函数的图像和性质一样，我们首先通过描点法画出对数函数的图像，然后归纳总结函数的相关性质.下面我们以<i>y</i>=log<sub>2</sub><i>x</i>和<math display="0">
|
<mi>y</mi>
|
<mo>=</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>2</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>x</mi>
|
</math>为例画出对数函数的图像，通过观察其图像特征，归纳出对数函数的性质.
|
</p>
|
<p>第一步：计算部分数值并列表（如表4-5所示）.</p>
|
<p class="img">表4-5</p>
|
<p class="center">
|
<img class="img-a" alt="" src="../../assets/images/0148-3.jpg" />
|
</p>
|
<p>
|
第二步：描点，并用光滑的曲线连接所描的点，画出它们的图像，如图4-8所示.
|
</p>
|
<p>
|
利用相同方法，我们还可以在同一平面直角坐标系中画出<math display="0">
|
<mi>y</mi>
|
<mo>=</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>3</mn>
|
<mn>2</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>x</mi>
|
</math>，<i>y</i>=log <sub>2</sub><i>x</i>，<i>y</i>=log <sub>0.08</sub><i>x</i>，<i>y</i>=log
|
<sub>4.5</sub><i>x</i>，<i>y</i>=log
|
<sub>0.6</sub><i>x</i>，<math display="0">
|
<mi>y</mi>
|
<mo>=</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>2</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>x</mi>
|
</math>的图像，如图4-9所示.
|
</p>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
<!-- 138 -->
|
<div class="page-box" page="145">
|
<div v-if="showPageList.indexOf(145) > -1">
|
<ul class="page-header-odd fl al-end">
|
<li>138</li>
|
<li>数学.基础模块</li>
|
<li>上册</li>
|
</ul>
|
<div class="padding-116">
|
<p class="center">
|
<img class="img-b" alt="" src="../../assets/images/0149-1.jpg" />
|
</p>
|
<p class="img">图4-8</p>
|
<p class="center">
|
<img class="img-d" alt="" src="../../assets/images/0149-2.jpg" />
|
</p>
|
<p class="img">图4-9</p>
|
<p><b>类比归纳</b></p>
|
<p>
|
类比指数函数图像特征的观察方法，观察对数函数的图像，描述它们的图像在位置、公共点和变化趋势等方面的共性特征.
|
</p>
|
<p>
|
（1）
|
图中所有对数函数的图像均在<i>y</i>轴的右侧（<b>位置特征</b>）；
|
</p>
|
<p>
|
（2）
|
图中所有对数函数的图像都经过定点（1，0）（<b>公共点特征</b>）；
|
</p>
|
<p>
|
（3） 在定义域内，对数函数<math display="0">
|
<mi>y</mi>
|
<mo>=</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>3</mn>
|
<mn>2</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>x</mi>
|
</math>，<i>y</i>=log <sub>2</sub><i>x</i>，<i>y</i>=log
|
<sub>4.5</sub><i>x</i>图像从左到右分别逐渐上升，在第四象限内向下与<i>y</i>轴无限接近；对数函数<i>y</i>=log
|
<sub>0.08</sub><i>x</i>，<math display="0">
|
<mi>y</mi>
|
<mo>=</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>2</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>x</mi>
|
</math>，<i>y</i>=log <sub>0.6</sub><i>x</i>图像从左到右分别逐渐下降，在第一象限内向上与<i>y</i>轴无限接近（<b>变化趋势特征</b>）.
|
</p>
|
<p>
|
类比指数函数的图像，对数函数<i>y</i>=log<i><sub>a</sub>x</i>（<i>a</i>＞0，且<i>a</i>≠1）的图像按底数<i>a</i>的取值，可分为0＜<i>a</i>＜1和<i>a</i>＞1两种类型，我们从指数式与对数式的关系也可发现.
|
</p>
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn" alt="" src="../../assets/images/cxgk.jpg" />
|
</p>
|
<p>
|
一般地，对数函数<i>y</i>=log<i><sub>a</sub>x</i>（<i>a</i>＞0，且<i>a</i>≠1）具有下列性质.
|
</p>
|
<p>（1） 函数的定义域为（0，+∞），值域为<b>R</b>；</p>
|
<p>（2） 当<i>x</i>=1时，函数值<i>y</i>=0；</p>
|
<p>
|
（3）
|
当<i>a</i>＞1时，函数在（0，+∞）内是增函数；当0＜<i>a</i>＜1时，函数在（0，+∞）内是减函数.
|
</p>
|
<p>对数函数的图像和性质可以总结如表4-6所示.</p>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
<!-- 139 -->
|
<div class="page-box" page="146">
|
<div v-if="showPageList.indexOf(146) > -1">
|
<ul class="page-header-box">
|
<li>
|
<p>第四单元 指数函数与对数函数</p>
|
</li>
|
<li>
|
<p><span>139</span></p>
|
</li>
|
</ul>
|
<div class="padding-116">
|
<p class="img">表4-6</p>
|
<p class="center">
|
<img class="img-a" alt="" src="../../assets/images/0150-1.jpg" />
|
</p>
|
<div class="bk-hzjl">
|
<div class="bj1-hzjl">
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn2" alt="" src="../../assets/images/hzjl.jpg" />
|
</p>
|
</div>
|
<examinations :cardList="questionData[146]" :hideCollect="true" sourceType="json"
|
v-if="questionData" ></examinations>
|
</div>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>例1</b></span> 比较下列各组数中两个值的大小.
|
</p>
|
<p>
|
（1） log<sub>2</sub>5.3 与log<sub>2</sub>4.7；（2） log
|
<sub>0.2</sub>7与log <sub>0.2</sub>9；
|
</p>
|
<p>
|
（3） log<sub>5</sub>4与1；（4）log<sub>3</sub>4与log
|
<sub>0.3</sub>4.
|
</p>
|
<p class="block">
|
<span class="zt-ls2"><b>分析</b></span> 若两个对数的底数相同，可利用对数函数的单调性直接比较；若底数不同，可采用先与中间量（通常是0或1）进行比较，再利用不等式传递性得出结论.
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>解</b></span>（1）
|
因为底数2＞1，所以<i>y</i>=log<sub>2</sub><i>x</i>在区间（0，+∞）上是增函数，函数图像如图4-10所示.
|
</p>
|
<p>又因为5.3＞4.7，所以log<sub>2</sub>5.3＞log<sub>2</sub>4.7.</p>
|
<p>
|
（2） 因为底数0＜0.2＜1，所以<i>y</i>=log <sub>0.2</sub><i>x</i>在区间（0，+∞）上是减函数，函数图像如图4-11所示.
|
</p>
|
<p>又因为7＜9，所以log <sub>0.2</sub>7＞log <sub>0.2</sub>9.</p>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
<!-- 140 -->
|
<div class="page-box" page="147">
|
<div v-if="showPageList.indexOf(147) > -1">
|
<ul class="page-header-odd fl al-end">
|
<li>140</li>
|
<li>数学.基础模块</li>
|
<li>上册</li>
|
</ul>
|
<div class="padding-116">
|
<p>
|
（3） log<sub>5</sub>4＜log<sub>5</sub>5=1，即log<sub>5</sub>4＜1.
|
</p>
|
<ul class="fl">
|
<li>
|
<p class="center">
|
<img class="img-a" alt="" src="../../assets/images/0151-1.jpg" />
|
</p>
|
<p class="img">图4-10</p>
|
</li>
|
<li>
|
<p class="center">
|
<img class="img-a" alt="" src="../../assets/images/0151-2.jpg" />
|
</p>
|
<p class="img">图4-11</p>
|
</li>
|
</ul>
|
<p>
|
（4） 因为 log<sub>3</sub>4＞log<sub>3</sub>1=0，log
|
<sub>0.3</sub>4＜log <sub>0.3</sub>1=0，所以 log<sub>3</sub>4＞log
|
<sub>0.3</sub>4.
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>例2</b></span> 解下列不等式.
|
</p>
|
<p>
|
（1）log <sub>4</sub><i>x</i>＜log<sub>4</sub>5；（2）
|
<math display="0">
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>4</mn>
|
<mn>5</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>x</mi>
|
<mo>＞</mo>
|
<mn>1</mn>
|
</math>.
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>解</b></span>（1） 因为<i>y</i>=log
|
4<i>x</i>在（0，+∞）上是增函数，所以<i>x</i>＜5.
|
</p>
|
<p>又因为<i>x</i>＞0，所以0＜<i>x</i>＜5.</p>
|
<p>所以不等式的解集为（0，5）.</p>
|
<p>
|
（2）
|
<math display="0">
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>4</mn>
|
<mn>5</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>x</mi>
|
<mo>＞</mo>
|
<mn>1</mn>
|
</math>，即<math display="0">
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>4</mn>
|
<mn>5</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>x</mi>
|
<mo>></mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>4</mn>
|
<mn>5</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mfrac>
|
<mn>4</mn>
|
<mn>5</mn>
|
</mfrac>
|
</math>.
|
</p>
|
<p>
|
因为<math display="0">
|
<mi>y</mi>
|
<mo>=</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mn>4</mn>
|
<mn>5</mn>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>x</mi>
|
</math>在（0，+∞）上是减函数，所以<math display="0">
|
<mi>x</mi>
|
<mo>＜</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>4</mn>
|
<mn>5</mn>
|
</mfrac>
|
</math>.
|
</p>
|
<p>
|
又因为<i>x</i>＞0，所以<math display="0">
|
<mn>0</mn>
|
<mo>＜</mo>
|
<mi>x</mi>
|
<mo>＜</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>4</mn>
|
<mn>5</mn>
|
</mfrac>
|
</math>.
|
</p>
|
<p>
|
所以不等式的解集为（0，<math display="0">
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mn>0</mn>
|
<mo>，</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>4</mn>
|
<mn>5</mn>
|
</mfrac>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
</math>）.
|
</p>
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn" alt="" src="../../assets/images/stlx.jpg" />
|
</p>
|
<div class="bj">
|
<examinations :cardList="questionData[147]" :hideCollect="true" sourceType="json" v-if="questionData">
|
</examinations>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
<!-- 141 -->
|
<div class="page-box" page="148">
|
<div v-if="showPageList.indexOf(148) > -1">
|
<ul class="page-header-box">
|
<li>
|
<p>第四单元 指数函数与对数函数</p>
|
</li>
|
<li>
|
<p><span>141-142</span></p>
|
</li>
|
</ul>
|
<div class="padding-116">
|
<h3 id="c046">习题4.4<span class="fontsz2">＞＞＞</span></h3>
|
<div class="bj">
|
<examinations :cardList="questionData[148]" :hideCollect="true" sourceType="json" v-if="questionData">
|
</examinations>
|
</div>
|
<h2 id="b026">
|
4.5 指数函数与对数函数的实际应用<span class="fontsz1">＞＞＞＞＞＞＞＞</span>
|
</h2>
|
<p>
|
我们学习的基本初等函数，可以描述、刻画客观世界中某一类事物运动变化的规律.例如，用一次函数模型可以描述生活中的“线性增长”（直线增长）现象.利用指数函数与对数函数的相关知识建立函数模型，可以描述、刻画科学与技术、经济与社会、生产与生活中的“指数增长”和“对数增长”现象.
|
</p>
|
<p>
|
<span
|
class="zt-ls"><b>例1</b></span> 开展人口普查，对于调整、完善人口政策，推动人口结构优化，促进人口素质提升具有重要意义.第七次全国人口普查结果显示，2020年年末全国大陆总人口为141
|
178万人，其中城镇常住人口90
|
199万人，占总人口的比例（常住人口城镇化率）为63.89%，与2010年相比，提高了14.21个百分点.
|
</p>
|
<p>
|
（1） 假设此后每年都增加700万人口，20年后我国大陆人口总数是多少？
|
</p>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
<!-- 142 -->
|
<div class="page-box hidePage" page="149">
|
</div>
|
<!-- 143 -->
|
<div class="page-box" page="150">
|
<div v-if="showPageList.indexOf(150) > -1">
|
<ul class="page-header-box">
|
<li>
|
<p>第四单元 指数函数与对数函数</p>
|
</li>
|
<li>
|
<p><span>143</span></p>
|
</li>
|
</ul>
|
<div class="padding-116">
|
<p>
|
（2）
|
假设此后每年人口的平均增长率是1%（每年都在前一年基础上增加1%），20年后我国大陆人口总数约为多少？（单位：万，结果精确到0.01）
|
</p>
|
<p class="block">
|
<b>分析</b>（1）
|
这是经济社会中的“线性增长”现象，即每年增加量保持不变，每年增加700万人口，20年共增加14
|
000万人口，因此总共人口为155 178万.
|
</p>
|
<p class="block">
|
（2）
|
这是经济社会中的“指数增长”现象，即每年按照一定的增长率（成倍数）增长.我们首先考查逐年增长的情况，从中发现每一年都是前一年的（1+1%）倍（也可采用后一年与前一年的比值发现规律），即呈指数增长，最后利用指数函数知识解决问题.
|
</p>
|
<p class="block">2020年年末 人口约为141 178万；</p>
|
<p class="block">经过1年 人口约为141 178（1+1%）万；</p>
|
<p class="block">
|
经过2年 人口约为141 178（1+1%）（1+1%）=141
|
178（1+1%）<sup>2</sup>万；
|
</p>
|
<p class="block">
|
经过3年 人口约为141 178（1+1%）<sup>2</sup>（1+1%）=141
|
178（1+1%）<sup>3</sup>万；
|
</p>
|
<p class="block">……</p>
|
<p class="block">
|
经过<i>x</i>年 人口约为141 178（1+1%）<i><sup>x</sup></i>万.
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>解</b></span>（1） 因为每年增加700万人口，20年共增加20×700万=14
|
000万人口，因此20年后我国大陆人口为155 178万（15.517 8亿）.
|
</p>
|
<p>（2） 设经过<i>x</i>年，我国人口为<i>y</i>万，由题意得</p>
|
<p class="center">
|
<i>y</i>=141 178（1+1%）<i><sup>x</sup></i>.
|
</p>
|
<p>当<i>x</i>=20时，<i>y</i>=141 178（1+1%）<sup>20</sup>.</p>
|
<p>利用科学计算器可求得<i>y</i>≈172 263.99万.</p>
|
<p>
|
所以，假设每年都增加700万人口，20年后我国大陆人口为155
|
178万；假设每年人口的平均增长率是1%，经过20年后我国大陆人口约为172
|
263.99万.
|
</p>
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn" alt="" src="../../assets/images/fxlj.jpg" />
|
</p>
|
<p>
|
比较两种增长方式，随着时间推移，“指数增长”方式更具有爆发性.探究两种增长方式的特点，并分别列举社会生活中的“线性增长”和“指数增长”现象.
|
</p>
|
<p>
|
一般地，形如<i>y</i>=<i>ka<sup>x</sup></i>（<i>a</i>＞0，且<i>a</i>≠1，<i>k</i>≠0）的函数称为<b>指数型函数</b>，这是生活实际中常见的和实用的函数模型.其中，当<i>a</i>＞1时，该函数叫作指数增长模型，如我们常说的“指数爆炸”现象所蕴含的就是这种模型；当0＜<i>a</i>＜1时，该函数叫作指数衰减模型，如考古工作中的碳14衰减现象所蕴含的就是这种模型.
|
</p>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
<!-- 144 -->
|
<div class="page-box" page="151">
|
<div v-if="showPageList.indexOf(151) > -1">
|
<ul class="page-header-odd fl al-end">
|
<li>144</li>
|
<li>数学.基础模块</li>
|
<li>上册</li>
|
</ul>
|
<div class="padding-116">
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>例2</b></span> 2020年12月8日，中国、尼泊尔两国共同向全世界正式宣布，世界第一高峰珠穆朗玛峰的最新海拔高程为8
|
848.86
|
m.由于珠穆朗玛峰气候多变、高寒缺氧、环境复杂，对测量装备、测绘技术和测绘人员有很高的要求，因此精确测量珠穆朗玛峰高程是一个国家测绘技术水平和能力的综合体现.已知海拔高程<i>y</i>（m）
|
与大气压强<i>x</i>（Pa）之间的关系可用函数 <i>y</i>=<i>k</i> ln
|
<i>x</i>+<i>c</i>
|
来近似描述，其中<i>c</i>，<i>k</i>可看成常量.又知登顶过程中，海平面的大气压强为1.013×10<sup>5</sup>
|
Pa，北坳营地海拔7 028 m，大气压强约为4.21×10<sup>4</sup>Pa.
|
</p>
|
<p>
|
（1） 当大气压强为3.81×10<sup>4</sup> <i>Pa</i> 时，海拔高程是多少？
|
</p>
|
<p>
|
（2） 当测绘人员在登顶过程中测得其所在位置的海拔高程为8 844.43
|
m时，大气压强为多少？
|
</p>
|
<p>
|
<span class="zt-ls"><b>解</b></span> 海平面的海拔高程为0 m.将
|
</p>
|
<p class="center">
|
<i>x</i><sub>1</sub>=1.013×10<sup>5</sup>，<i>y</i><sub>1</sub>=0，
|
</p>
|
<p class="center">
|
<i>x</i><sub>2</sub>=4.21×10<sup>4</sup>，<i>y</i><sub>2</sub>=7
|
028，
|
</p>
|
<p>分别代入函数关系式 <i>y</i>=<i>k</i> ln <i>x</i>+<i>c</i>，</p>
|
<p>解得 <i>k</i>≈-8 004.203，<i>c</i>≈92 255.180.</p>
|
<p>于是，大气压强与海拔高程的关系式近似为</p>
|
<math display="block">
|
<mi>y</mi>
|
<mo>=</mo>
|
<mo>−</mo>
|
<mn>8004.203</mn>
|
<mi>ln</mi>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>x</mi>
|
<mo>+</mo>
|
<mn>92255.180</mn>
|
<mo>.</mo>
|
</math>
|
<p class="right">①</p>
|
<p>（1） 当<i>x</i>=3.81×10<sup>4</sup>时，</p>
|
<p><i>y</i>=-8 004.203×ln（3.81×10<sup>4</sup>）+92 255.180</p>
|
<p>≈7 827.090.</p>
|
<p>
|
所以，当大气压强为3.81×10<sup>4</sup> <i>Pa</i>时，海拔高程约为7
|
827.090 m.
|
</p>
|
<p>（2） 把<i>y</i>=8 844.43代入①式，</p>
|
<p class="center">8 844.43=-8 004.203 ln <i>x</i>+92 255.180，</p>
|
<p class="center">
|
ln <i>x</i>=10.421⇒<i>x</i>=<i>e</i><sup>10.421</sup>≈33
|
556.974≈3.36×10<sup>4</sup>.
|
</p>
|
<p>
|
所以，当测绘人员在登顶过程中测得其所在位置的海拔高程为8 844.43
|
m时，大气压强约为3.36×10<sup>4</sup>
|
<i>Pa</i>，约为海平面大气压强的<math display="0">
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<mn>3</mn>
|
</mfrac>
|
</math>.
|
</p>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
<!-- 145 -->
|
<div class="page-box" page="152">
|
<div v-if="showPageList.indexOf(152) > -1">
|
<ul class="page-header-box">
|
<li>
|
<p>第四单元 指数函数与对数函数</p>
|
</li>
|
<li>
|
<p><span>145-146</span></p>
|
</li>
|
</ul>
|
<div class="padding-116">
|
<p class="left">
|
<img class="img-gn" alt="" src="../../assets/images/stlx.jpg" />
|
</p>
|
<div class="bj">
|
<examinations :cardList="questionData[152] ? questionData[152][1] : []" :hideCollect="true" sourceType="json" inputBc="#d3edfa"
|
v-if="questionData"></examinations>
|
</div>
|
<h3 id="c047">习题4.5<span class="fontsz2">＞＞＞</span></h3>
|
<div class="bj">
|
<examinations :cardList="questionData[152] ? questionData[152][2] : []" :hideCollect="true" sourceType="json" v-if="questionData">
|
</examinations>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
<!-- 146 -->
|
<div class="page-box hidePage" page="153"></div>
|
<!-- 147 -->
|
<div class="page-box" page="154">
|
<div v-if="showPageList.indexOf(154) > -1">
|
<ul class="page-header-box">
|
<li>
|
<p>第四单元 指数函数与对数函数</p>
|
</li>
|
<li>
|
<p><span>147</span></p>
|
</li>
|
</ul>
|
<div class="padding-116">
|
<h2 id="b027">
|
数学园地<span class="fontsz1">＞＞＞＞＞＞＞＞</span>
|
</h2>
|
<p class="center">我们身边的“指数爆炸”</p>
|
<p>
|
“指数爆炸”不是真正的爆炸，是事物数量的变化呈现爆炸式急剧增长时的现象.用数学语言描述该现象时，可用指数函数模型<i>f</i>（<i>x</i>）=<i>ka<sup>x</sup></i>（<i>a</i>＞1）来刻画这种变化规律，这种增长方式也叫作“指数增长”.
|
</p>
|
<p>
|
在幼儿园、小学阶段，同学们经常玩的折纸游戏也蕴含着“指数爆炸”的道理.一张足够大、足够柔软的纸片每对折一次，纸片的厚度就会翻一番，如果持续对折下去，其厚度增长是“爆炸式”的.一张足够大的1
|
mm厚的纸片如果连续对折42次，其厚度大约为4.4×10<sup>5</sup>
|
km，可以直接从地球连到月球了（地球与月球之间的距离约为3.8×10<sup>5</sup>
|
km）.
|
</p>
|
<p>
|
在卫生健康方面，我们几乎每天都在和细菌打交道，因为很多细菌的繁殖速度都是呈“指数爆炸”式的.有研究显示，一双未洗过的手上大约有80万个细菌，假设某种细菌以二分裂法繁殖（每分裂一次，数量是原来的两倍），每5秒分裂一次，很快，这双未洗过的手上的细菌就会增长到5
|
000多万个，庞大的细菌群体经常会导致我们“病从手入”.所以，保持饭前便后洗手的良好卫生习惯，对我们身体健康有着至关重要的作用.
|
</p>
|
<p>
|
在旅游服务领域，一些消费性政策可能会导致游客人数的“爆炸式”增长.例如，某一景区为吸引更多游客，从2001年开始，施行门票免费活动，游客人数从30万人次增加到2020年的220万人次，平均每年增加1.11倍，这也蕴含着“指数增长”.如果游客人数增长过度，会出现景区人满为患、服务跟不上等问题，因此需要利用函数模型预测未来变化趋势，合理施行旅游活动.
|
</p>
|
<p>
|
从细如发丝的拉面、折纸游戏、细菌繁殖，到景区旅游、银行储蓄等，都与“指数爆炸”有着千丝万缕的联系.在客观世界中，数学早已悄悄潜入我们生活、工作的方方面面.
|
</p>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
<!-- 148 -->
|
<div class="page-box" page="155">
|
<div v-if="showPageList.indexOf(155) > -1">
|
<ul class="page-header-odd fl al-end">
|
<li>148</li>
|
<li>数学.基础模块</li>
|
<li>上册</li>
|
</ul>
|
<div class="padding-116">
|
<h2 id="b028">
|
单元小结<span class="fontsz1">＞＞＞＞＞＞＞＞</span>
|
</h2>
|
<p class="bj2"><b>学习导图</b></p>
|
<p class="center">
|
<img class="img-a" alt="" src="../../assets/images/0159-1.jpg" />
|
</p>
|
<p class="bj2"><b>学习指导</b></p>
|
<p>1.实数指数幂.</p>
|
<p>（1） 正整数、负整数、分数、指数幂的意义.</p>
|
<p>
|
①<math display="0">
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mi>n</mi>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<munder>
|
<mrow data-mjx-texclass="OP">
|
<munder>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
<mo>⋅</mo>
|
<mi>a</mi>
|
<mo>⋅</mo>
|
<mi>a</mi>
|
<mo>⋅</mo>
|
<mo>⋯</mo>
|
<mo>⋅</mo>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
<mo>⏟</mo>
|
</munder>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mi>n</mi>
|
<mo stretchy="false">↑</mo>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</munder>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mi>n</mi>
|
<mo>∈</mo>
|
<msub>
|
<mrow>
|
<mi mathvariant="bold">N</mi>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mo>+</mo>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
</math>； ②<math display="0">
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mo>−</mo>
|
<mi>n</mi>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<mfrac>
|
<mn>1</mn>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mi>n</mi>
|
</mrow>
|
</msup>
|
</mfrac>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mi>a</mi>
|
<mo>≠</mo>
|
<mn>0</mn>
|
<mo>,</mo>
|
<mi>n</mi>
|
<mo>∈</mo>
|
<msub>
|
<mrow>
|
<mi mathvariant="bold">N</mi>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mo>+</mo>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
</math>；
|
</p>
|
<p>
|
③<math display="0">
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mfrac>
|
<mi>m</mi>
|
<mi>n</mi>
|
</mfrac>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<mroot>
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<mi>m</mi>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mi>n</mi>
|
</mroot>
|
<mrow data-mjx-texclass="INNER">
|
<mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo>
|
<mi>a</mi>
|
<mo>></mo>
|
<mn>0</mn>
|
<mo>,</mo>
|
<mi>m</mi>
|
<mo>,</mo>
|
<mi>n</mi>
|
<mo>∈</mo>
|
<msub>
|
<mrow>
|
<mi mathvariant="bold">N</mi>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mo>+</mo>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo>,</mo>
|
<mi>n</mi>
|
<mo>></mo>
|
<mn>1</mn>
|
<mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo>
|
</mrow>
|
</math>.
|
</p>
|
<p>（2） 运算性质.</p>
|
<p>设<i>a</i>＞0，<i>b</i>＞0，<i>m</i>，<i>n</i>∈<b>R</b>，则</p>
|
<p>
|
①<i>a<sup>m</sup>
|
a<sup>n</sup></i>=<i>a<sup>m+n</sup></i>； ②（<i>a<sup>m</sup></i>）<i><sup>n</sup></i>=<i>a<sup>mn</sup></i>； ③（<i>ab</i>）<i><sup>n</sup></i>=<i>a<sup>n</sup>
|
b<sup>n</sup></i>.
|
</p>
|
<p>2.对数.</p>
|
<p>
|
（1）
|
定义：如果<i>a<sup>x</sup></i>=<i>N</i>（<i>a</i>＞0，且<i>a</i>≠1），那么数<i>x</i>叫作以<i>a</i>为底<i>N</i>的<b>对数</b>，记作<i>x</i>=log<i><sub>a</sub>N</i>，其中<i>a</i>叫作对数的<b>底数</b>（简称底），<i>N</i>叫作<b>真数</b>.
|
</p>
|
<p>
|
通常我们把log <sub>10</sub><i>N</i>叫作常用对数，简记作lg <i>N</i>；
|
把log<sub>e</sub><i>N</i>叫作自然对数，简记作ln <i>N</i>.
|
</p>
|
<p>
|
（2） 性质：①零和负数没有对数；②log<i><sub>a</sub></i>1=0，即1的对数为0；③log<i><sub>a</sub>a</i>=1，即底数的对数为1.
|
</p>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
<!-- 149 -->
|
<div class="page-box" page="156">
|
<div v-if="showPageList.indexOf(156) > -1">
|
<ul class="page-header-box">
|
<li>
|
<p>第四单元 指数函数与对数函数</p>
|
</li>
|
<li>
|
<p><span>149</span></p>
|
</li>
|
</ul>
|
<div class="padding-116">
|
<p>（3） 运算法则.</p>
|
<p>
|
①log<i><sub>a</sub></i>（<i>MN</i>）=log<i><sub>a</sub>M</i>+log<i><sub>a</sub>N</i>； ②<math display="0">
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mfrac>
|
<mi>M</mi>
|
<mi>N</mi>
|
</mfrac>
|
<mo>=</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>M</mi>
|
<mo>−</mo>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>N</mi>
|
</math>；
|
</p>
|
<p>
|
③log<i><sub>a</sub>N<sup>n</sup></i>=<i>n</i>log
|
<i><sub>a</sub>N</i>（<i>a</i>＞0，且<i>a</i>≠1，<i>n</i>∈<b>R</b>）.
|
</p>
|
<p>（4）（选学）换底公式.</p>
|
<p>
|
<math display="0">
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>b</mi>
|
<mo>=</mo>
|
<mfrac>
|
<mrow>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>c</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>b</mi>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>c</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</mfrac>
|
</math>（<i>a</i>＞0，且<i>a</i>≠1；<i>c</i>＞0，且<i>c</i>≠1）.
|
</p>
|
<p>
|
特别地，<math display="0">
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>b</mi>
|
<mo>=</mo>
|
<mfrac>
|
<mrow>
|
<mi>lg</mi>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>b</mi>
|
</mrow>
|
<mrow>
|
<mi>lg</mi>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</mfrac>
|
</math>（<i>a</i>＞0，且<i>a</i>≠1）.
|
</p>
|
<p>
|
对数恒等式：<math display="0">
|
<msup>
|
<mi>a</mi>
|
<mrow>
|
<msub>
|
<mi>log</mi>
|
<mrow>
|
<mi>a</mi>
|
</mrow>
|
</msub>
|
<mo data-mjx-texclass="NONE"></mo>
|
<mi>N</mi>
|
</mrow>
|
</msup>
|
<mo>=</mo>
|
<mi>N</mi>
|
</math>（<i>a</i>＞0，且<i>a</i>≠1）.
|
</p>
|
<p>3.指数函数与对数函数.</p>
|
<p>（1） 定义.</p>
|
<p>
|
形如<i>y</i>=<i>a<sup>x</sup></i>（<i>a</i>＞0，且<i>a</i>≠1）的函数叫指数函数；形如<i>y</i>=log<i>
|
ax</i>（<i>a</i>＞0，且<i>a</i>≠1）的函数叫对数函数.
|
</p>
|
<p>（2） 图像和性质.</p>
|
<p class="center">
|
<img class="img-a" alt="" src="../../assets/images/0160-5.jpg" />
|
</p>
|
<p>4.指数函数与对数函数的实际应用.</p>
|
<p>
|
分析实例背景，建立指数函数或对数函数模型，并利用指数函数、对数函数的图像及基本性质解决简单的实际问题.体会“指数爆炸”与“指数衰减”的特点.
|
</p>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
<!-- 150 -->
|
<div class="page-box" page="157">
|
<div v-if="showPageList.indexOf(157) > -1">
|
<ul class="page-header-odd fl al-end">
|
<li>150-152</li>
|
<li>数学.基础模块</li>
|
<li>上册</li>
|
</ul>
|
<div class="padding-116">
|
<h2 id="b029">
|
单元检测<span class="fontsz1">＞＞＞＞＞＞＞＞</span>
|
</h2>
|
<div class="bj">
|
<examinations :cardList="questionData[157]" :hideCollect="true" sourceType="json" inputBc="#d3edfa" v-if="questionData">
|
</examinations>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
</div>
|
<!-- 151 -->
|
<div class="page-box hidePage" page="158"></div>
|
<!-- 152 -->
|
<div class="page-box hidePage" page="159"></div>
|
</div>
|
</template>
|
|
<script>
|
import examinations from "@/components/examinations/index.vue";
|
export default {
|
name: "",
|
props: {
|
showPageList: {
|
type: Array,
|
default: [],
|
},
|
questionData: {
|
type: Object,
|
},
|
},
|
components: { examinations },
|
data() {
|
return {};
|
},
|
mounted() { },
|
methods: {},
|
};
|
</script>
|
|
<style lang="less" scoped></style>
|
